Transformations du plan

Cours maths seconde

Transformations du plan :

Translation, symétrie, réflexion, rotation, …
Préparatifs aux modules triangles isométriques et semblables.

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Symétrie centrale


C’est une symétrie par rapport à un point I.

Les points A et B sont symétriques par rapport au point I si I est le milieu de [AB].



Propriétés


La symétrie centrale conserve les angles, les distances, les surfaces, les formes, le parallélisme, …

Ainsi, en particulier :
Si les points A, B, C et D ont pour images A’, B’, C’ et D’ dans la symétrie de centre I ; alors, par exemple :


  • L'image d'un triangle est un triangle
  • Si
Invariants


Un point A est invariant si son image A’ est lui-même ; c’est-à-dire A’ = A.

Propriété :
Dans une symétrie de centre I, seul le centre de symétrie, I est un point invariant.


Symétrie axiale ou réflexion


Il s’agit d’une symétrie par rapport à une droite    .

Les points A et B sont symétriques par rapport à la droite Δ si Δ est la médiatrice de [AB].



Propriétés


La symétrie axiale (ou réflexion) conserve les angles, les distances, les surfaces, les formes, le parallélisme, …

Ainsi, en particulier :
Si les points A, B, C et D ont pour images A’, B’, C’ et D’ dans la réflexion d’axe
Δ ; alors, par exemple :


  • L'image d'un triangle est un triangle
  • Si


Invariants


Un point A est invariant si son image A’ est lui-même ; c’est-à-dire A’ = A.

Propriété :
Dans une réflexion d’axe
Δ , les points invariants sont les points de la droite Δ .


Rotation


Une rotation est définie par son centre O et un angle α.
 
Le point A’ est l’image du point A par la rotation de centre O et d’angle α si :



Sens positif et négatif


Le sens positif est le sens contraire des aiguilles d’une montre.


Le sens négatif est celui des aiguilles d’une montre.



Propriétés


La rotation conserve les angles, les distances, les surfaces, les formes, le parallélisme, …

Ainsi, en particulier :
Si les points A, B, C et D ont pour images A’, B’, C’ et D’ dans la rotation de centre O d’angle
α ; alors, par exemple :


  • L'image d'un triangle est un triangle
  • Si


Invariants


Un point A est invariant si son image A’ est lui-même ; c’est-à-dire A’ = A.

Propriété :
Dans une rotation de centre O et d’angle
α ≠ 0 [2π] seul le centre O est un point invariant.


Translation


Une translation est définie par un vecteur .

Le point A’ est l’image du point A dans la translation de vecteur  si .

Remarque : Le point C est l’image de D par la translation de vecteur  si ABCD est un parallélogramme.

Propriétés


La translation conserve les angles, les distances, les surfaces, les formes, le parallélisme, …

Ainsi, en particulier :
Si les points A, B, C et D ont pour images A’, B’, C’ et D’
dans la translation de vecteur
; alors, par exemple :


  • L'image d'un triangle est un triangle
  • Si


Invariants


Un point A est invariant si son image A’ est lui-même ; c’est-à-dire A’ = A.

Propriété :
Dans une translation de vecteur
0, il n’y a aucun point invariant.

 
 
         Cours complémentaires :

► Configurations du plan
► Repères et coordonnées
► Equations d'une droite
► Sommaire cours maths seconde

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