Théorème des valeurs intermédiaires

Cours maths Terminale S

Théorème des valeurs intermédiaires :
Ce module est consacré aux propriétés liées à la continuité d’une fonction sur un intervalle.
Une mise au point est tout d’abord faite sur la notion d’intervalle et vient ensuite un des grands théorèmes de l’analyse : le théorème des valeurs intermédiaires, suivi de son corollaire.
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1/ Notion d’intervalle
Un ensemble de nombres réels I est un intervalle si et seulement si il contient tous les réels compris entre sa borne inférieure et sa borne supérieure.
( les bornes pouvant être finies ou infinies )
Autrement dit :
un intervalle est un ensemble de réels qui n’a pas de « trous ».


Selon que les bornes sont ouvertes ou fermées, on utilise différents qualificatifs.

Exemples :
[ 2 ; 5 ] est un intervalle fermé.
] -6 ; 10 [    ]; -3 [    ] 7 ; [   R  sont des intervalles ouverts.
] -1 ; 1 ]    [-4 ; [     ]; 8]   sont des intervalles semi-ouverts.
] -1 ; 1 ]U[3 ; 5] R*  sont des réunions d’intervalles mais ne sont pas des intervalles.

On parle de continuité, de dérivabilité et de monotonie
sur un intervalle.

Et ce n’est pas parce qu’une fonction est monotone sur deux intervalles, qu’elle l’est sur la réunion de ces intervalles.

Exemple :
La fonction inverse est décroissante sur
]; 0 [   et sur ] 0 ; [
et pourtant, elle n’est pas décroissante sur R*     
En effet, soit f définie par  sur
R*
Si f était décroissante sur R* , on aurait : -2 < 3 ⇒ f (-2) > f (3)
Or :   et
Donc : f (-2) < f (3)
Conclusion : la fonction inverse n’est pas décroissante sur R*
2/ Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f définie et continue sur un intervalle I et soit X sa courbe dans un repère orthonormé.

Soient a et b de I  tels que, par exemple : a < b   et   
f (a) < f (b)

Soit k réel tel que :
f (a) < k < f (b)
Théorème des valeurs intermédiaires

Comme  f continue sur I, le tracé de sa courbe se fait « sans lever le crayon » sur cet intervalle.
Or les points A et B sont situés de part et d’autre de  donc le tracé de la courbe
du point A au point B coupe obligatoirement au moins une fois
Et il existe alors au moins un réel x0 de l’intervalle  [a ; b]  tel que : f (x0) = k

Théorème des valeurs intermédiaires : souvent appelé plus simplement  T.V.I.

Soit f fonction définie sur I et a et b éléments de I.
Si f est continue sur I alors :
pour tout réel k compris entre f (a) et f (b)           , 
il existe au moins un réel x0 compris entre a et b tel que :  f (x0) = k

Autrement dit :
toutes « les valeurs intermédiaires » entre les deux images sont atteintes.

Remarque :
Pour qu’un réel k donné ait un antécédent par f compris entre a et b, la continuité est une condition suffisante mais non nécessaire.

En effet, on peut imaginer des situations où k possède un antécédent compris entre a et b sans que f soit continue entre a et b.

Théorème des valeurs intermédiairesPrenons l’exemple de la fonction partie entière :

Rappel : la partie entière ( par défaut ) d’un réel est l’entier qui lui est immédiatement inférieur ou égal.

On la note : E(x)

La fonction partie entière n’est pas continue sur [ 0 ; 3] mais 2 compris entre E(0) et E(3) a tout de même une infinité d’antécédents.

Par contre, TOUT réel compris entre E(0) et E(3)n’a pas forcément un antécédent.

3/ Corollaire : unicité de l’antécédent

Si nous reprenons notre illustration graphique :

Nous constatons que si la continuité assure l ’existence d’un antécédent de k, elle n’en garantit en rien l’unicité.

On peut imaginer une infinité de courbes passant par A et B pour lesquelles k aurait un antécédent qui existe et qui est unique, mais la solution la plus simple est la suivante :
sur cet exemple, il suffit de prendre f continue
et strictement croissante sur  [a ; b]
Corollaire : unicité de l’antécédent


Rappels concernant la monotonie

f
est dite croissante ( au sens large ) sur I si quels que soient a et b de I : 
a < b ⇒ f (a) < f (b)
Il est alors possible d’avoir : 
b  et  f (a) = f (b)

Exemple :
Corollaire : unicité de l’antécédent

Situation dans laquelle k pourrait donc posséder plus d’un antécédent.
C’est pourquoi il nous faut ici parler de croissance au sens strict.

f est dite strictement croissante sur I si quels que soient a et b de I : a < b ⇒ f (a) < f (b)

Dans ce cas-là, deux réels différents pris sur I ne peuvent avoir la même image.
En particulier, dans la situation qui nous intéresse : un réel ne peut donc avoir
deux antécédents différents sur l’intervalle [ a ; b ]

On dit que f est monotone sur I si son sens de variation ne change pas sur I.
Autrement dit si elle est croissante sur tout I ou décroissante sur tout I.

f est dite strictement monotone sur I si elle est strictement croissante sur tout I,ou strictement décroissante sur tout I.


Démonstration pratique de la monotonie, stricte ou large


Si pour tout x de I : f ' (x) > 0 alors f est croissante sur I  Monotonie large
Si pour tout x de I : f ' (x) < 0 alors f est décroissante sur I  Monotonie large
Si f ' est strictement positive sur I sauf en des valeurs isolées de I où elle s’annule, alors f est strictement croissante sur I. Monotonie stricte
Si f ' est strictement négative sur I sauf en des valeurs isolées de I où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I. Monotonie stricte
Et si pour tout x de I :  f ' (x) = 0 alors f est constante sur I.

Remarque :
Dans l’exemple de fonction simplement croissante tracée précédemment, la dérivée s ’annule donc sur tout un intervalle, où la fonction est localement constante.


En rajoutant la contrainte de la stricte monotonie, nous pouvons donc affiner notre premier théorème et en déduire un nouveau théorème.

En mathématiques, un théorème conséquence d’un autre théorème auquel on rajoute simplement une nouvelle condition est appelé un corollaire.



Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Soit f définie sur  [ a ; b ]
Si f est continue et strictement monotone sur  [ a ; b ] alors :
pour tout réel k compris entre f (a) et f (b) 
il existe un et un seul réel x0 compris entre a et b tel que :  f (x) = k

Ce qui peut également être énoncé sous la forme :
l’équation f (x) = k possède une et une seule solution sur l’intervalle [ a ; b ]   

Remarque importante :
Ce corollaire peut être étendu à tout type d’intervalle.
Dans le cas de bornes ouvertes ou infinies, il faut alors remplacer les images de a et de b par les limites de f aux bornes de l’intervalle.


4/ Image d’un intervalle et bijection

Image d’un intervalle
Soit f définie sur un intervalle I.

On appelle ensemble image de I, l’ensemble regroupant les images des éléments de I.

On le note f (I) et on a donc : f (I) = { f (I) avec x I }

Montrons que si f est continue sur I alors f(I) est un intervalle :


D’un point de vue graphique :
I étant un intervalle, il n’a pas de tous.

Si f est continue sur I, la courbe de
f sur I peut être tracée sur I sans lever le crayon.
Image d’un intervalle et bijectionAuquel cas :
f (I) n’a pas de trous non plus, c’est donc un intervalle.

D’un point de vue théorique,
f(I) est un intervalle si il contient tous les réels compris entre sa borne inférieure et sa borne supérieure.

Considérons le cas où ces bornes sont atteintes et finies et appelons-les m et M.

Alors par définition de f(I), il existe a et b de I tels que m =
f (a) et M = f (b).

Si
f est continue sur I, d’après le théorème des valeurs intermédiaires :
quel que soit k compris entre m et M, il existe un x0 compris entre a et b tel que k =
f (x0)

Or, comme I est un intervalle il contient tous les réels compris entre ses bornes et a fortiori
ceux compris entre deux de ses éléments, donc x0 I

k est donc l’image d’un élément de I, par conséquent il est élément de f (I).
f (I) contient donc tout élément compris entre ses bornes, c’est un intervalle.

Conclusion
d’après le théorème des valeurs intermédiaires :
Si f est continue sur un intervalle, l’image de cet intervalle est un intervalle.

Exemples d’image d’un intervalle par une fonction continue

* Si
f est la fonction carrée :
l’image par f de l’intervalle [1 ; 2] est l’intervalle : [1 ; 4]
l’image par f de l’intervalle ] -2 ; 3 [ est l’intervalle : [ 0 ; 9 [
l’image par f de l’intervalle R est l’intervalle : [ 0 ; [
* Si f est la fonction affine définie par f (x) = -5x + 4
Comme f est décroissante sur R : l’image par f de l’intervalle [1 ; 2] est l’intervalle : [ f (2) ; f (1) ]  Soit [ -6 ; -1 ]
* Si f est la fonction inverse, l’image de l’intervalle ] 0 ; 2 [ est l’intervalle :
* Si
f a pour tableau de variations :
Image d’un intervalle et bijection
 Les flèches continues
symbolisant la continuité :
L’image par f de l’intervalle ] 2 ; [
est l’intervalle : ]; -3]


Notion de bijection

Soit f définie sur un ensemble E  rt soit F un deuxième ensemble.
On dit que f réalise une bijection de E sur F si :
quel que soit y élément de F, il existe un et un seul x de E tel que : y = f (x)

Si I est un intervalle et f continue sur I alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires,
f (I) est un intervalle.

De plus, par définition : quel que soit y élément de
f (I), il existe au moins un x de I tel que : y = f (x).

Si f est en plus strictement monotone sur I, alors d’après le corollaire du T.V.I, ce x est unique.

Conclusion 
f est une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle f (I)


Le corollaire du T.V.I peut donc alors être énoncé sous une autre forme, forme sous laquelleil est appelé :


Théorème de la bijection

Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors :
f réalise une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle f (I).

5/ Application n° 1 : fonction réciproque


Notion de fonction réciproque :

Si
f est une bijection de I sur f (I) alors :
quel que soit y élément de
f (I), il existe un et un seul x de I tel que : y = f (x).

On peut donc définir une fonction de
f (I) dans I telle que y ait pour image x.

Cette fonction est appelée
fonction réciproque ( ou inverse ) de
f et notée f-1


pour tout y de
f (I) : si y = f (x) alors : f-1 (y) = x
pour tout x de I :  f -1 (f (x)) = x    et  pour tout y de f (I) :  f ( f -1 (y))

Ces deux dernières égalités, se notant du point de vue de la composition de
fonctions :
Où Id est la fonction identité qui à tout réel associe lui-même.
La réciproque de f-1 étant
f, on dit que les fonctions sont réciproques

Et d’après le théorème de la bijection :
Si f est continue et strictement monotone sur I alors :
f possède une fonction réciproque f -1 définie sur f (I).


Propriétés de cette fonction réciproque
1. f -1 est continue sur f (I).
2. Pour tout y de f (I) : f (f -1 (y))
Donc d’après la formule de dérivation des fonctions composées : (f-1)' (y) x f ' (f -1 (y)) = 1

Soit :  pour 
f ' (f-1 (y))  0
f -1 (y) a donc le même signe sur f (I) que f ’(x) sur I.

Conséquence :
f -1 est strictement monotone sur f (I)  et a le même sens de variation que f sur I.

Par contre,
attention :
f -1 n’est pas dérivable en y si  f ' (f -1 (y)) = 10

3. Les courbes de f et de f -1 sont symétriques par rapport à  y = x première bissectrice. 

Exemples

1. Soit
f égale à la fonction carré :
La fonction carré est continue sur R mais non monotone, elle ne possède donc pas de fonction réciproque sur cet intervalle.
Par contre : elle est continue et strictement croissante sur
[ 0 ; [
donc elle admet une fonction réciproque définie sur f ([ 0 ; [) = [ 0 ; [
[ 0 ; [[ 0 ; [



f -1(y) > 0 et f -1(y) au carré vaut y donc f -1(y) =
La fonction racine que l’on connaît depuis le collège est donc tout simplement
la fonction réciproque de la fonction carré sur
[ 0 ; [

La fonction racine possède donc les propriétés de toute fonction réciproque,
ce qui nous permet de retrouver les propriétés qu’on lui connaît  :
1° La fonction carré est continue sur [ 0 ; [ donc la fonction racine est continue sur  [ 0 ; [
2° La fonction carré est strictement croissante sur[ 0 ; [ donc la fonction racine est strictement croissante sur [ 0 ; [
  donc
f-1 n’est pas dérivable en y si f ' (f-1 (y)) = 0 ⇔ y = 0
La fonction racine n’est pas dérivable en 0.
3° La courbe de la fonction racine et la courbe de la fonction carré ( sur les positifs ) sont symétriques par rapport à la première bissectrice.
La courbe de la fonction racine et la courbe de la fonction carré ( sur les positifs ) sont symétriques par rapport à la première bissectrice


2.
plus généralement, on peut ainsi définir la fonction réciproque de toute fonction du type :

f étant strictement monotone sur R si n est impair et sur [ 0 ; si n est pair,
f -1 sera donc définie sur R ou [ 0 ; [ selon la parité de l’exposant.
Cette fonction réciproque est appelé racine nième et notée :
Racine deuxième et racine troisième étant également appelée : racine carrée et racine cubique


3.
La fonction inverse est sa propre réciproque sur chaque intervalle où elle définie .


4. 
est continue et strictement décroissante sur
[ 0 ; [
qui a pour image par f l’intervalle : [ -1 ; 1 [
Donc la fonction cosinus possède une fonction réciproque définie sur [ -1 ; 1 [
et à valeurs dans [ 0 ; [ appelée Arc cosinus ou fonction « inverse cosinus »
et notée : Arccos, Acs ou cos-1
Fonction qui depuis la classe de quatrième nous permet de trouver la valeur d’un angle connaissant son cosinus.

Remarque :
Tout ce passage du cours sur la fonction réciproque est à la limite du programme.

Il peut cependant aider à comprendre bien des choses dans ce chapitre et dans les chapitres futurs qui traiteront de deux nouvelles fonctions :

les fonctions logarithme et exponentielle
Deux fonctions qui sont réciproques.

Il peut également aider dans le domaine de la géométrie où il est question d’applications réciproques.

En particulier dans la partie du programme de spécialité qui traite des similitudes.

6/ Application n° 2 : dénombrer les solutions d’une équation

Exemple :
Soit le polynôme de degré 3 P défini sur R par : P(x) = 2x3 + 3x2 - 36x + 45
Montrer P possède une racine réelle unique
Ce qui en terme d’équation se traduit par :
montrer que l’équation : P(x) = 0 possède une solution unique dans
R

1° Commençons par étudier la monotonie de P

P en tant que fonction polynôme est dérivable sur
R et :
P ' (x) = 6x2 +6x -36 = 6 (x2 + x - 6)

La dérivée est du signe de : x2 + x - 6

Il y a donc deux racines réelles distinctes
:

D’où le signe de :
x2 + x - 6 et le tableau de variations de P :
 tableau de variations de P

2° Complétons le tableau pour pouvoir lire les intervalles images

 tableau pour pouvoir lire les intervalles images



3° Regardons quels sont les intervalles images qui contiennent la valeur image recherchée, ici 0.
a) P, fonction polynôme est continue sur R donc a fortiori sur [ -3 ; [
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’image de l’intervalle [ -3 ; [est donc un intervalle et c’est [ 1 ; [


 tableau pour pouvoir lire les intervalles images0 f ([ -3 ; [)   0 n’a pas d’antécédent par P
sur l’intervalle
[ -3 ; [
donc l’équation P(x) = 0
n’a pas de solution
sur
[ -3 ; [
Attention : les élèves ont tendance à oublier toute cette partie de la rédaction qui concerne l’absence de solutions sur certains intervalles.
b) P, fonction polynôme est continue sur R donc a fortiori sur  ]; -3 ]
P est de plus strictement croissante sur ]; -3 ]

D’après le théorème de la bijection,

P réalise donc une bijection de  ]; -3 ] sur : P ( ]; -3 ])
P (
]; -3 ]) = ]; -126 ] et 0   ]; 126 ]
Par conséquent : 0 admet un antécédent et un seul sur ]; -3 ]
L’équation P(x) = 0 possède donc une solution unique sur   ]; -3 ]

Conclusion : P possède une racine réelle unique , qui est située sur
]; -3 ] 

7/ Application n° 3 : encadrer les solutions d’une équation

Continuons avec notre exemple : (voire cadre ci-dessus)

Nous savons que notre polynôme a une racine unique mais sa localisation reste imprécise.

Nous allons donc affiner sa position, en réalisant un encadrement  de
, à 10-2 près.
L’intervalle de recherche de cette racine étant d’une longueur infinie, il nous faut commencer par trouver un intervalle fini dans lequel nous pourrons préciser notre recherche.

Nous pouvons procéder par dichotomie ou tout simplement rentrer la formule de la fonction dans une calculatrice ou un tableur puis sortir son tableau de valeurs sur l’intervalle [ -103 ; -3] par exemple et adopter un pas assez large de 10.



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