Théorème de pythagore

Cours maths 4ème

Théorème de pythagore

Ce course tente d'expliquer le théorème de Pythagore. Il permet d’initier l’élève à l’utilisation de la calculatrice au niveau des racines carrées d’un nombre positif, d’initier l’élève à la démonstration et de bien comprendre le codage d’une figure.
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Un peu de vocabulaire


Soit un triangle ABC rectangle en B :


Rappel :

L’hypoténuse est le côté qui a la
plus grande mesure :

BA < AC
BC < AC

Réfléchissons


Monsieur Mathenfolie propose 3 triangles en indiquant leurs natures et les mesures des trois côtés. Il te demande ensuite de compléter les égalités correspondantes :

ABC est un triangle équilatéral
tel que AB = AC = BC = 2,5cm

   AB2 = 6,25
   BC2 = 6,25
   AC2 = 6,25
  AB2 = BC2 = AC2

MNO est un triangle rectangle en N
tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.

   MN2 = 30,25
   NO2 = 23,04
   OM2 = 53,29
  OM² = MN² + NO²


IJK est un triangle isocèle de sommet
principal J tel que : IJ = KJ = 4 cm et IK = 2,7 cm.

  IK2 = 7,29
  IJ2 = 16
  KJ2 = 16
  IJ2 = KJ2
Que remarque-t-on ?


Ce qui intéresse monsieur Mathenfolie c’est le cas du triangle rectangle MNO. Est-ce que cela marche pour d’autres triangles rectangles ?

ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 4,56 cm, BC = 2,17 cm, et AB = 5,05 cm.

   AB2 = 25,5025
   BC2 = 4,7089
   AC2 = 20,7936
  AB2 = BC2 + AC2

MNO est un triangle rectangle en N
tel que : MN = 5,5 cm, NO = 4,8 cm, et OM = 7,3 cm.

   MN2 = 30,25
   NO2 = 23,04
   OM2 = 53,29
  OM² = MN² + NO²


TGV est un triangle rectangle en G tel que TV = 6,25 cm, TG = 6 cm et GV = 1,75 cm.

  TV2 = 7,29
  TG2 = 16
  GV2 = 16
  TV2 = TG2 + GV2
Est-ce que cela est vrai pour tous les triangles ?



Démontrons


A partir de 4 triangles rectangles identiques dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b et l’hypoténuse mesure c, on obtient un premier carré de côté a + b représenté ci-contre:



On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.
L’aire de ce carré est égale à c2.


A partir de ces mêmes triangles on peut construire un autre carré de côté a + b superposable au premier.


Comme les triangles
sont identiques et
que les carrés
obtenus sont super-
posables,
on en déduit que :

a2 + b2 = c2



On admettra que les deux quadrilatères représentés en orange sont des carrés.

  • Le plus grand a une aire égale à b2.
  • Le plus petit a une aire égale à a2.


On admettra que le quadrilatère représenté en orange est un carré.

  • L’aire de ce carré est égale à c2.



Le théorème de Pythagore



Nous avons démontré que :

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la mesure de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des deux côtés de l’angle droit.



Puisque le triangle ULM est rectangle en L,
on a : c2 = a2 + b2 ,
on peut aussi écrire : MU2 = LU2 + LM2 .


La racine carrée d'un nombre positif



Question 1 :

Si la distance entre deux points A et B est telle que : AB² = 25,
alors que peut-on dire de AB ?


Nous cherchons le nombre positif tel que : AB² = AB x AB = 25.
Parfois la solution peut paraître évidente,
ici 5 x 5 = 25 donc nous admettrons que AB = 5 (en unité de mesure).

Question 2 :

Si la distance entre deux points M et N est telle que : MN² = 15,
alors que peut-on dire de MN ?


Nous cherchons le nombre positif tel que : MN² = MN x MN = 15.
Dans ce cas la solution n’est pas évidente. Nous utilisons alors la touche √ de la calculatrice : √15
3,87. Nous obtenons ici une valeur approchée.
Donc MN ≈ 3,87 (à 0,01 près en unité de mesure).

         Cours complémentaires :

► Triangle rectangle
► Théorème de Thalès
► Théorème des milieux
► Sommaire cours maths 4ème

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