Systèmes et problèmes

Cours maths 3ème

Systèmes et problèmes :

Ce cours a pour but de travailler sur les test de solutions de systèmes et l’utilisation de systèmes pour résoudre des problèmes.
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Introduction aux systèmes d'équations



Définition :

Le système suivant est un système de 2 équations à 2 inconnues :


Résoudre un système, c’est trouver le couple solution de ce système.
Ce couple (x ; y) vérifie les 2 équations en même temps.


Etre ou ne pas être solution


Exemple 1 :  Le couple (-2 ; 1) est-il solution des systèmes suivants ?



3×(-2) + 2×1 = -6 + 2 = -4
-2 + 1 = -1

Les deux équations sont vérifiées par le couple (-2 ; 1).

Donc le couple (-2 ; 1) est solution du système.






5×(-2) – 2×1 = -10 – 2 = -12
4×(-2) + 6×1 = -8 + 6 = -2

2 ≠ 2 donc la 2ème  équation n’est pas vérifiée par le couple (-2 ; 1).

Donc le couple (-2 ; 1) n’est pas solution du système.



Méthode de substitution



On utilise de préférence la méthode de substitution lorsque l’une des inconnues a pour coefficient 1 ou -1.







Exemple : Pour le système



Méthode de substitution : exemple


1) On exprime l’une des inconnues en fonction de l’autre dans l’une des équations.


2) On remplace l’inconnue dans l’autre équation.
Elle devient une équation du 1er degré à une seule inconnue.


3) On résout la nouvelle équation :


4) On remplace l’inconnue « connue » dans la 1ère équation puis on calcule


5) On conclut : Le couple solution est (2 ; 5).


Méthode de combinaison



On utilise, de préférence, la méthode de combinaison dans tous les autres cas


Exemple : Pour le système 











Méthode de combinaison et exemple

1) On multiplie chaque équation par un nombre afin que les coefficients de x (ou de y) soient les mêmes.


2) On ajoute ou on soustrait terme à terme les 2 équations pour éliminer y.


3) On obtient une équation du 1er degré à 1 inconnue que l’on résout :


4) On remplace l’inconnue « connue » dans la 1ère équation puis on calcule


5) On conclut : Le couple solution est



 
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► Systèmes et méthodes
de résolution

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