Symétrie centrale - propriétés

Cours maths 5ème

Symétrie centrale - propriétés :

A partir de quelques propriétés admises ou démontrées concernant les points alignés, les droites, les demi-droites, un premier pas sera fait vers la formulation d’une démonstration. Les propriétés du centre de symétrie d’une figure seront ensuite étudiées.
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      A voir aussi :

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions
 
 
Points alignés
 
 
 
 
 
A, B et I sont trois points du plan.
A’ et B’ sont les symétriques respectifs de A et de B par rapport à I.
 
M est un point sur le segment [AB].
 
 
 
 
 
 
 
Points alignés et leurs symétriques
 
 
 
 
 
A, B et I sont trois points du plan.
A’ et B’ sont les symétriques respectifs de A et de B par rapport à I.
M est un point de [AB]
Les points A, B et M sont alignés.
 
On appelle M’ le symétrique de M par rapport à I.  M’ est sur la demi-droite [MI).
 
Peut on affirmer que M’ est un point de [A’B’] ?
 
 
 
 
 
 
A, B et I sont trois points du plan.
A’ et B’ sont les symétriques respectifs de A et de B par rapport à I.
M est un point de [AB] et M’ est le symétrique de M par rapport à I.
 
Le symétrique du triangle ABI par rapport à I est le triangle
A’B’I
 
M étant un point situé sur le côté [AB] du triangle ABI, lors du demi-tour autour de I, la figure est conservée dans son ensemble.
M’ est donc bien un point du segment [A’B’].

Propriété de symétrie centrale

 
 
Trois points alignés ont pour symétriques par rapport à un point I trois points alignés.
 
 
 

Droites symétriques

 
 
 
 
 
(d) est une droite et I un point du plan qui n’est pas un point de la droite (d).
 
On appelle (d’) la droite symétrique de (d) par rapport à I.
On veut comparer (d) et (d’).
 
Sur la droite (d), on donne un point A quelconque et le point B tel que (IB)(d).
 
On va construire les points A’ et B’symétriques respectifs de A et B par rapport à I.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) est une droite et I un point du plan.
(d’) est la droite symétrique de (d) par rapport à I.
A est un point quelconque de (d) et B est le point de (d) tel que (IB)
(d).
A’ et B’ sont les symétriques respectifs de A et de B par rapport à I.
 
 
Comment peut-on aussi nommer (d’) ?
Quel est le symétrique de l’angle ABI ?
Quelle est sa mesure ?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) est une droite et I un point du plan.
(d’) est la droite symétrique de (d) par rapport à I.
A est un point quelconque de (d) et B est le point de (d) tel que (IB)
(d).
A’ et B’ sont les symétriques respectifs de A et de B par rapport à I.
La droite (d’) est en fait la droite (A’B’).
 
 
Le symétrique de l’angle ABI est l’angle A’B’I.
Ces deux angles ont la même mesure.
Comment les points B, I et B’ sont-ils disposés ?
Comment sont les droites (BB’) et (d’) ?
 
 
 
 
 
 
(d) est une droite et I un point du plan.
(d’) est la droite symétrique de (d) par rapport à I.
A est un point quelconque de (d) et B est le point de (d) tel que (IB)
(d).
A’ et B’ sont les symétriques respectifs de A et de B par rapport à I.
Les points B, I et B’ sont alignés.
 
Les droites (BB’) et (d’) sont donc perpendiculaires.
 
 
Que peut on en conclure pour les droites (d) et (d’) ?
 
 
 
 
 
 
 
(d) est une droite et I un point du plan.
(d’) est la droite symétrique de (d) par rapport à I.
A est un point quelconque de (d) et B est le point de (d) tel que (IB)
(d).
A’ et B’ sont les symétriques respectifs de A et de B par rapport à I.
(BB’)
(d)
(BB’)
(d’)
 
 
Deux droites perpendiculaires à la même troisième sont parallèles entre elles.
 
 
Conclusion : (d) // (d’)
 
 
 

Droites symétriques : propriété

 
 
Deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.

Demi-droites symétriques : activité

 
 
 
 
 
 
 
 
 
A, B et I sont trois points du plan non alignés.
A’ et B’ sont les symétriques respectifs de A et B par rapport à I.
 
 
En bleu est tracé la demi-droite [AB).
 
En rouge, le tracé du symétrique de la demi-droite [AB).
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Demi-droites symétriques : propriété

 
 
Deux demi-droites symétriques par rapport à un point sont parallèles et de sens contraire.
 
 
 

Centre de symétrie d’une figure

 
 
 
Quand une figure est son propre symétrique par rapport à un point,-ce point est appelé «  centre de symétrie » de la figure.
 
 
Le symétrique de la figure ci-contre par rapport au point I, est  la même figure...
 
 
I est le centre de symétrie de la figure.
 
 
         Cours complémentaires :

► Symétrie centrale - introduction
► Symétrie axiale - 6ème
► Figures symétriques - 6ème
► Sommaire cours maths 5ème

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