Cours maths 1ère S

Suites - introduction

Suites - introduction

Les suites

Avec le réchauffement de la planète, les barrières de corail ont tendance à diminuer. De ce fait tous les animaux vivants dans cet écosystème voient leur population réduite. Des études ont montré que cette diminution pouvait atteindre 2% par an selon les différents sites. Grâce aux suites, on peut définir une population de départ p0 et estimer cette population pour les années à venir: pn . Ainsi on peut anticiper les conséquences du réchauffement et trouver des solutions pour préserver les poissons tropicaux!

 

Notion intuitive de suite

Intuitivement, une suite réelle est une « succession », une liste infinie de nombres réels.

Par exemple, on définit une suite en se donnant la liste :

0, 2, 4, 6, 8, 10, …

de tous les nombres entiers multiples de deux rangés dans l’ordre croissant.

On note les termes d’une suite en utilisant une notation indicielle :

U₀ = 0, U₁ = 2, U₅, ......, Un-1, Un, Un+1,........

U₀ est le premier terme de la duite, U₁ est le deuxième terme,... et on appelle Un le terme général de la suite.

Exemple :

Si on reprent la suite : 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...

Alors on a

U₀ = 0, U₁ = 2; U₂ = 4, U₃ = 6, U₄ = 8, U₅ = 10 et Un = 2n

(u₀ = 0 = 2 x 0, u₁ = 2 = 2 x 1, u₂ = 4 = 2 x 2, ...)

Définition d'une suite

On appelle suite réelle ou suite numérique toute fonction u de l'ensemble ℕ des entiers naturels dans ℝ.

u : ℕ → ℝ
n → u(n)

Notation :

Si u est une suite réelle, on note u_n l'image de n par u au lieu de u(n).

u₀ = u(0) est l'image de 0 par la suite u.

La suite u est notée (u_n) ou ou .

Remarque

1) Parfois la suite n'est définie qu'à partir d'un certain rang, par exemple à partir de 1.

La suite est alors notée ou ou N* = N \ {0}.

Si la suite est définie à partir de n=2, alors on note etc...

• Attention !

2) Ne pas confondre la suite (un) qui est une fonction avec son terme général un qui est un nombre réel.

 

Représentation graphique d'une suite

Reprenons l’exemple de la suite de tous les nombres pairs rangés dans l’ordre croissant.

On peut représenter cette suite de deux manières :

  • Sur la droite réelle

Il suffit de placer les points u0, u1, u2,... sur la droite réelle.

  • Dans le plan

Le plan est rapporté à un repère (O, i, j).

La représentation graphique d’une suite (u_n) dans le plan est l’ensemble des points de coordonnées (n, u_n).

 

Modes de génération d'une suite

Nous allons voir que les suites peuvent être définies de différentes façons.

  • Suites définies par une formule explicite

On peut définir une suite par une formule explicite qui permet de calculer directement à partir de n le terme d’indice n de la suite, comme pour une fonction f de R dans R qui est donnée par l’expression de ƒ(x) en fonction de x.

Exemples

Soit la suite définie par tout

Cela signifie que la suite u est la fonction

On a donc

u0 = u(0) = 2 x 0 = 0
u1 = u(1) = 2 x 1 = 2
u2 = u(2) = 2 x 2 = 4
..................................

Soit la suite définie par :

pour tout

Alors, on a

v0 = v(0) = 5 x 0 + 1 = 1
v1 = v(1) = 5 x 1² + 1 = 6
v2 = v(2) = 5 x 2² + 1 = 21
..................................

Remarque

Dans ce cas, on peut calculer directement n’importe quel terme de la suite.

Si l’on reprend les deux exemples précédents, on a, par exemple,

Cas particulier important

Soit f une fonction définie sur une partie D de R telle que

On définit alors une suite en posant, pour tout entier naturel n,

On dispose alors, à partir de la courbe représentative de la fonction f, d’une représentation graphique de la suite .

Sur l’axe des ordonnées, on peut lire les valeurs de u₀, u₁, u₂, ....

 

Suites définies par une relation de récurrence

Définition :

Si une suite est définie par son premier terme et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du terme précédent, on dit que la suite est définie par récurrence et la relation est appelée relation de récurrence.

Exemple

Soit la suite définie sur ℕ par :

u₀ = 2 et, pour tout

Connaissant u₀ la relation

permet, en remplaçant n par 0, de calculer u₁ :

u₁ = 3u₀ - 2 = 3 x 2 - 2 = 4

puis, connaissant u₁ = 4, on calcule u₂ :

u₂ = 3u₂ - 2 = 3 x 4 - 2 = 10

et on recommence

u₃ = 3u₂ - 2 = 3 x 10 - 2 = 28

On peut ainsi, de proche en proche, calculer tous les temres de la suite.

Remarques

1) Une relation de récurrence permet de calculer tous les termes de la suite pas à pas, à condition de connaître la première valeur u₀.

Cependant, si on veut calculer u₂₀₀, il faut au préalable calculer u₁, u₂, u₃, ......, u₁₉₈, u₁₉₉.

2) La relation de récurrence a été écrite avec les termes u_n et u_n+1 de la suite. On aurait pu aussi l’écrire de la façon suivante :

pour tout n ≥ 1, u_n = 3 u_n-1 − 2

La relation de récurrence que nous venons de voir ne fait intervenir que deux termes de la suite : u_n et u_n+1

Il existe des relations de récurrence qui font intervenir plusieurs termes consécutifs de la suite.

Par exemple, la relation de récurrence, pour tout n ≥ 1,

u_n+1 = 2u_n - u_n-1

permet de définir une suite avec la donnée des deux premiers termes de la suite u₀ et u₁.

Si on pose u₀ = 1 et u₁ = 3 , alors

u₂ = 2u₁ - u₀ = 2 x 3 - 1 = 5
u₃ = 2u₂ - u₁ = 2 x 5 - 2 = 8

• Attention !

La donnée de la seule relation de réccurrence ne suffit pas à determiner la suite. Il est indispensable de connaître la ou les valeurs initiales u₀ ou u₀ et u₁, ........

Dans l'exemple ci-dessus, avec la mention de récurrence

u_n+1 = 2u_n - u_n-1

Si on prend u₀ = 1 et u₁ = 1, on obtient la suite constante égale à 1.

u₂ = 2u₁ - u₀ = 2 x 1 - 1 = 1
u₃ = 2u₂ - u₁ = 2 x 1 - 1 = 1

Et si on prend u₀ = 1 et u₂ = 2 on obtient la suite des entiers naturels non nuls :

u₂ = 2u₁ - u₀ = 2 x 2 - 1 = 3
u₃ = 2u₂ - u₁ = 2 x 3 - 2 = 4

 

Sens de variation d'une suite

Remarques

1) Si pour tout entier naturel , on a u_n = u_n+b, on dit que la suite est constante ou stationnaire.

2) S’il existe un entier naturel p tel que l’on ait u_n ≤ u_n+1 pour tout nombre entier n ≥ p , on dit que la suite est croissante à partir du rang p.

On définit de même une suite décroissante ou stationnaire à partir d’un certain rang.

3) Il existe des suites qui ne sont ni croissantes ni décroissantes.

Exemple

La suite définie par :

pour tout n'est ni croissante, ni décroissante.

 

Monotonie stricte

 

Etude du sens de variation : méthode

Comment faire dans la pratique pour étudier le sens de variation d’une suite ?
On dispose de trois méthodes.

Méthode 1 : cas d’une suite du type u_n = ƒ(n)

Lorsque la suite est de la forme un = ƒ(n) où ƒ est une fonction de R dans R, la connaissance du sens de variation de la fonction ƒ sur l’intervalle donne, dans des cas simples, le sens de variation de la suite.

Par exemple, si ƒ est croissante sur alors, pour tout
donc et la suite est croissante.

Méthode 2 : méthode de la différence

On calcule et on étudie le signe de

Propriété :

Si pour tout entier n, la différence est de signe constant, alors la suite est monotone.
- Si u_n+1 - u_n ≥ 0, la suite est croissante
- Si u_n+1 - u_n ≤ 0, la suite est décroissante

Exemple

Remarque

Méthode 3 : méthode du quotient

Soit une suite telle que, pour tout

On calcule le quotient et on le compare à 1.

Propriété :

Soit une suite telle que, pour tout

- Si pour tout , alors la suite est croissante.
- Si pour tout , alors la suite est décroissante.

Exemple

Remarque

On a un résultat analogue pour les suites telles que pour tout

 

Suites bornées

Définition :

- Une suite est majorée s'il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, on ait u_n ≤ M.

- Une suite est minorée s'il existe un nombre réel m tel que, pour tout entier naturel n, on ait u_n ≥ m.

- Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples