Suites adjacentes

Cours maths Terminale S

Suites adjacentes :
Ce module est consacré à l’étude des suites dites adjacentes.
A la définition de cette notion succède le théorème de convergence de telles suites.
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1 / Suites adjacentes : définition

Définition :

Les suites (un) et (vn) sont dites adjacentes si elles vérifient 3 conditions :
  1. (un)
  2. (vn)
  3. lim (vn - un) =0
Remarque :
Les deux suites jouent un rôle symétrique dans la définition, c’est à dire qu’il se peut que dans un exercice cela soit
(vn) et non (un) qui soit croissante.

C’est pourquoi on donne aussi une version plus générale de la définition, qui est :

Deux suites sont dites adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et si leur différence converge vers 0.


 2 / Suites adjacentes : exemple

Soient les suites définies pour tout n non nul par :   et
Montrons qu’elles sont adjacentes en justifiant qu’elles vérifient les 3 conditions.
 Suites adjacentes

Les 3 conditions sont vérifiées donc
(un) et  (vn) sont adjacentes.



Illustration graphique

lim un = lim vn = Suites adjacentes
3/ Théorème de convergence des suites adjacentes

Théorème de convergence des suites adjacentes :
* Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont la même limite.
Démonstration
Cette démonstration faisant souvent l’objet d’un R.O.C nous allons opter pour quelque chose d’un peu original : nous allons la réaliser en jouant le jeu du R.O.C posé au BAC de France Métropolitaine en Juin 2005.


En voici l’énoncé :

On suppose connus les résultats suivants :
  1.  Deux suites (un) et  (vn) sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre décroissante un et vn tend vers 0 quand n tend vers
  2. Si (un) et  (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) décroissante. Alors pour tout n :  un < vn
  3. Toute suite croissante et majorée est convergente; toute suite décroissante et minorée est convergente. 

Démontrer alors la propositions suivante :
"Deux suites adjecentes sont convergentes et elles ont la même limite"

Plaçons nous dans le cas où les deux suites sont adjacentes et telles que :
(un) et (vn)

Première étape : Montrons que (un) converge.
D’après 2 pour tout n : un < vn
Or, 
(vn)donc pour tout n : vn < v0
D’où : pour tout n : 
un < v0
un est croissante et majorée donc d’après 3 elle converge.
Deuxième étape : Montrons que (vn) converge.
D’après 2 pour tout n : vn < un
Or,
(un) donc pour tout n : un < u0
D’où : pour tout n :
vn < u0
(vn) est décroissante et minorée donc d’après 3 elle converge.
Troisième étape : montrons que les suites convergent vers la même limite.
Soit  = lim
un et '= lim un
La limite de la différence étant égale à la différence des limites on a :
lim (un - vn) = lim (un - lim vn) = 0
Or  d’après 1 : lim (un - vn) = 0
D’où : - ' = 0     Soit : = '
Par conséquent : lim un = lim vn

Conclusion : « Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite. »

Remarque :
Dans ce R.O.C , la démonstration élude l’une des véritables difficultés qui est de montrer que :

2 Si 
(un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que  (un) est croissante et  (vn) décroissante alors pour tout n :  un < vn

Il existe plusieurs démonstrations de cette propriété, une assez technique s’appuyant sur la définition de la convergence et une autre un peu plus simple dont voici le détail :

Définissons la suite (
wn) par : wn = vn - un
L’objectif étant donc de montrer que pour tout n :
wn > 0

Première étape : montrons que cette suite est décroissante


Deuxième étape : montrons que pour tout n :
wn > 0

Pour tout nombre k entier, comme 
(wn)  Quel que soit n > k : wn < wk
D’où par passage à la limite :
Soit : lim wn < wk
Or : lim (vn < un) = 0     Donc lim wn = 0
Par conséquent : pour tout k entier : 0 < wk
Donc, pour tout n : wn > 0
Conclusion : pour tout n : un < vn

         Cours complémentaires :

► Généralités sur les suites
► Raisonnement par récurrence
► Convergence des suites
► Sommaire cours maths Terminale S

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