Somme des angles d'un triangle

Cours maths 5ème

Somme des angles d'un triangle :

A partir d’un travail sur la symétrie centrale, ce chapitre va mettre en évidence que la somme des 3 angles d’un triangle est égale à 180°. Les conséquences pour les angles aigus d’un triangle rectangle et pour les angles d’un triangle équilatéral seront ensuite abordées.
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Un problème de symétrie centrale
 
 
 
 
ABC est un triangle quelconque.
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [BC]
S est le symétrique de C par rapport à I
T est le symétrique de A par rapport à J
 
 
 
 
 
 
 
 
Les symétriques des points A et C par rapport au point I sont respectivement B et S.
 
Le symétrique de la droite (AC) par rapport au point I est donc la droite (BS) avec (AC) // (BS).
 
 
 
 
 
 
 
Les symétriques des points A et C par rapport au point J sont respectivement T et B.
 
Le symétrique de la droite (AC) par rapport au point J est donc la droite (BT) avec (AC) // (BT).
 
Des points alignés ...
 
 
 
 
On veut montrer que les points
S, B et T sont alignés.
On a : (BS) // (AC) et (BT) // (AC).
Or, deux droites parallèles à la même troisième sont parallèles entre elles.
Donc (BS) // (BT).
 
Ces deux droites ayant en commun le point B, elles sont confondues : S, B et T sont donc alignés.
 
 
 

Des angles symétriques

 
 
 

 
 
 

Des calculs avec les angles

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Propriété de la somme des angles d'un triangle

 
 
 
La somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°.
 
Quelque soit le triangle ABC, on a : 
 
 
 

Triangle rectangle

 
 
ABC est un triangle rectangle en A.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Somme des angles aigus d’un triangle rectangle

 
 
ABC est un triangle rectangle en A.
  
 

Propriété :
 
Dans un triangle rectangle, la somme des 2 angles aigus est égale à 90°.
 
 
Une façon de reconnaître un triangle rectangle  :
 
• Si dans un triangle la somme de deux angles est égale à 90°, alors ce triangle est un triangle rectangle.
 
 
 
 
 
 

Mesure des angles d’un triangle équilatéral

 
 
ABC est un triangle équilatéral. Ses trois angles ont la même mesure.
Cette mesure est donc égale à : 180° / 3 = 60°.
 
 
Propriété :
 
Dans un triangle équilatéral , chacun des angles mesure 60°.
 
 
Voici deux façons de reconnaître un triangle équilatéral  :
 
• Si un triangle a deux angles de 60° alors ce triangle est équilatéral.
• Si un triangle isocèle a un angle de 60° alors ce triangle est équilatéral.

 
 
         Cours complémentaires :

► Inégalité triangulaire
► Construction d'un triangle
► Droites particulières d'un triangle
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