Similitudes directes

Cours maths Terminale S

Similitudes directes :
Après de brefs rappels concernant les similitudes en général, on choisit dans ce module de s’intéresser exclusivement au cas des similitudes directes.
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1/ Rappels

On appelle similitude ( plane ) toute transformation du plan

qui conserve les rapports de distances.
Théorème :
Une transformation du plan est une similitude
si et seulement si
elle multiplie les distances par un réel k, strictement positif.
Ce réel k est appelé le rapport de la similitude.

L’identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales
les symétries axiales, encore appelées réflexions, sont des similitudes.

Attention ! Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport  lkl

Une similitude de rapport 1 conserve les distances, elle est appelée isométrie.


L’identité, les translations, les rotations, les réflexions sont des isométries
La symétrie centrale est un cas particulier de rotation, c'est donc une isométrie.
Les similitudes conservent les angles géométriques.

On appelle similitude directe toute similitude qui conserve les angles orientés.
Une isométrie directe est appelée un déplacement.
L’identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales
sont des similitudes directes.

On appelle
similitude indirecte toute similitude qui transforme tout angle en son opposé.

Une isométrie indirecte est appelée un anti-déplacement.

Les réflexions sont des similitudes indirectes.

2/ Angle d’une similitude directe
Propriété :
Si s est une similitude directe alors :
quels que soient les points distincts A et B du plan, d’images respectives A’ et B’,
l’angle  est constant.

Cet angle est appelé l’
angle de la similitude.

Démonstration :
Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, d’images respectives A’, B’, C’ et D’.
Or, s similitude directe conserve les angles orientés,
donc :
On a donc
L’angle entre un vecteur et son vecteur image est bien constant.

- les translations, l’identité et les homothéties de rapport k >0 sont des similitudes d’angle nul.
- les homothéties de rapport k < 0 et les symétries centrales sont des similitudes d’angle .
- les rotations d’angle 0 sont des similitudes d’angle 0.
Réciproque :
Si s est une similitude telle que :
pour tous points distincts A et B du plan d’images respectives A’ et B’,
l’angle   est constant,
alors s est une similitude directe.
Démonstration :
Soient A, B, C et D quatre points disti
ncts du plan, d’images respectives A’, B’, C’ et D’.
Or, l’angle orienté entre un vecteur et son image est constant,
donc :
On a donc : 
s est une similitude qui conserve les angles orientés, elle est donc directe.
3/ Écriture complexe d’une similitude directe
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé de sens direct
Théorème :
soit f transformation du plan.
Si f est une similitude directe de rapport k et d’angle 0 alors :
alors f admet une écriture complexe de la forme : z' = az + b avec a = keio

Démonstration :
Soit f similitude directe de rapport k et d’angle
0.

Il est à remarquer que si f a pour écriture :  z' = az + b  alors O a pour image O’ d’affixe b.

Appelons donc b l’affixe de O’ image de O par f et
soit M’(z’) image de M(z) par f.
Alors : O’M’ = k OM donc : 
Soit :

De plus :

Donc : arg (z' - b) - arg (z - 0) = 0
Soit : 

est le nombre complexe de module k et d’argument
0 donc :
D’où f s’écrit :  z' = az + b avec a = keio
Et k ≠ 0 donc a ≠ 0.

Réciproque : soient a et b nombres complexes.
Toute transformation f admettant une écriture de la forme : z' = az + b  avec a ≠ 0
est une similitude directe de rapport  k = lal  et d’angle 0 = arg a

Démonstration :
Soient M et N points quelconques du plan d’images respectives M’ et N ’ par s.

Alors :
D’où :   ,
donc : M' N' =  lal x MN
Et a ≠ 0, donc f est une similitude de rapport  lal
De plus, comme a ≠ 0, son argument existe et arg (zN - zM) = arg a + arg(zN - zM)
Donc :  
D’où :  
f est une similitude et l’angle entre un vecteur et son image est constant donc :
f est une similitude directe et son angle vaut cette constante : arg a

En résumé :

s, transformation du plan,
est une similitude directe
si
et seulement
si
s a une écriture complexe
de la
forme :
z' = az + b  avec a ≠ 0

Le rapport k de s vaut alors :

et son angle 0 vaut : arg a
a s’écrivant donc : a = kei0

Cas particuliers :
- les translations sont des similitudes directes de rapport 1 et d’angle nul.
- une homothétie de rapport  k > 0 est une similitude directe de rapport k et d’angle 0.
- une homothétie de rapport  k < 0 est une similitude directe de rapport (-k) et d’angle .
- une rotation d’angle 0 est une similitude directe de rapport 1 et d’angle 0
4/ Existence et unicité d’une similitude directe
Théorème :
Soient A, B, A’ et B’ quatre points du plan tels que A ≠ B et A’ ≠ B’.
Alors, il existe une unique similitude directe s telle que : s(A) = A’ et s(B) = B’.

Démonstration :
Si une telle similitude s existe alors il existe a et b complexes, avec a ≠ 0 tels que:
zA' = azA + b    et      zB' = azB + b
alors : zB' - zA' = a (zB - za)
soit :
auquel cas : b = zA' - azA

Si s existe, le couple ( a ; b ) est unique et s est donc elle aussi unique.
Soit s dont l’écriture complexe est z' = az
+ b
avec : et    b = zA' - azA
B étant différent de A, a est défini.
zA' = azA + b   et      zB' - zA' = azB - azA 
Donc  zB' = azB - azA+ zA' = azB + b
De plus, comme B’ ≠ A’, a est non nul et s est donc définie.
D’où : s(A) = A’ et s(B) = B’.

Une similitude directe transformant A en A’ et B en B’ existe donc et est unique.

Remarques :
- la démonstration de ce théorème fait souvent l’objet d’un R.O.C au BAC.
- s a pour rapport :  et pour angle 
- il est nécessaire d’avoir A ≠ B et A’ ≠ B’ mais il est possible d’avoir A = A’ ou B = B’
auquel cas, les points sont invariants par s.


5/ Forme réduite d’une similitude directe

Théorème :
soit s similitude directe d’écriture complexe : z' = az + b avec a ≠ 0.
- si a = 1 : s est la translation de vecteur  d’affixe b. (le vecteur n'a aucun rapport avec le vecteur de base. il s'agit seulement d'une notation)
- si a ≠ 1 : alors s admet un unique point invariant  d’affixe : 
et s est la composée :
- de l’homothétie de centre et de rapport  lal (rapport de s) et  
- de la rotation de centre et d’angle :  arg a  (angle de s)
  est appelé le centre de la similitude directe.
Et une écriture complexe de s est alors :
Remarques :
- si  
lal = 1  et a ≠ 1, l’homothétie est l’identité et s est alors une simple rotation.

- si  arg a =  0 + 2k , la rotation est l’identité est s est alors une homothétie.

- comme nous le démontrerons, l’ordre de composition n’a pas d’importance.

- cette décomposition en rotation et homothétie est unique et appelée
forme réduite de s.

Toute similitude directe, différente d’une translation, s’écrivant de façon unique comme la composée d’une rotation et d’une homothétie :

elle est donc entièrement définie par la donnée de son centre, de son rapport et de son angle.
On les appelle les éléments caractéristiques de la similitude directe.
Et l’on notera s de la sorte :  s ( ; k ; 0)

Démonstration :
Soit M(z) d’image M’(z’) par s.
Si a = 1 :  z' - z = b donc :    avec d’affixe b.
s est donc la translation de vecteur
Remarque : si b = 0, alors s est l’identité et tout point est alors invariant par s.


- si a ≠ 1 alors
M(z) invariant par s
car : a ≠ 1
s admet donc un unique point invariant d’affixe : 
M’(z’) image de M(z) par s est donc équivalent à :

* Or, l’écriture complexe de h homothétie de centre et de rapport  lal est
* Et l’écriture complexe de r rotation de centre et d’angle arg a est
L’écriture de h o r est donc : 

L’écriture de r o h est donc :


Dans les deux cas, il s’agit de l’écriture de s, qui est donc égale à h o r    et   r o h.
6/ Déplacements
Théorème :
Si une transformation f est un déplacement alors :
f est soit une translation soit une rotation d’angle non nul.

Démonstration :
f déplacement est une
similitude directe de rapport 1, donc f s’écrit : z' = az + b avec
lal = 1
Et nous a
vons montré que :
- si a = 1 : alors f est la translation de vecteur
d’affixe b.
Et il est à remarquer que :
- si b ≠ 0 : f n’admet aucun point fixe.
- si b = 0 : f = Id et tout point du plan est fixe.
- si a ≠ 1 : alors a s’écrit  a = ei0   avec 0 non nul car a ≠ 1.
f admet alors un unique point fixe  daffixe
f = r o h avec r = r ( 0) et  h = h ( lal) . Or : h = Id donc f = r.

Dans ce cas là, f est donc
une rotation d’angle non nul.


Conséquence :
Un déplacement admettant un point fixe est soit l’identité, soit une rotation d’angle non nul.

En effet, d’après le listage fait lors de la démonstration du théorème :
- soit f est un déplacement admettant un unique point fixe auquel cas il s’agit d’une rotation d’angle non nul.

- soit f est un déplacement avec plus d’un point fixe auquel cas il s’agit de l’identité.


7/ Composition de similitudes directes
Théorème :
Soit f similitude directe de rapport k et d’angle 0
et soit g similitude directe de rapport k’ et d’angle 0.
Alors, f o g et g o f sont des similitudes directes de rapport kk’ et d’angle 0 + 0.

Démonstration :
Soit f d’écriture complexe :  z'= az +b  avec  a = kei0 0
Et soit g d’écriture complexe : z' = cz + d avec  c = k' e i0 0
Alors : f o g a pour écriture : z' = a (cz + d) + b = (ac)a + (ad + b)
L’écriture de f o g est du type :   z' = Az + B , avec A = ac = kei0 k'ei0 = kk'ei(0+0') 0
Donc, f o g est une similitude directe de rapport : lAl = kk'  et d’angle arg A = 0 + 0.
g o f a pour écriture :  z' = c(az + b) + d = (ac)z + (cb + d)
Donc, g o f est également une similitude directe de rapport kk’ et d’angle  0 + 0.

Attention !
en général f o g   et   g o f   ne sont as égales

En effet :
f o g a pour écriture :
g o f a pour écriture :
Donc, à moins que ad + b soit égal à cb + d, f o g et g o f ne sont pa