Repères de l’espace

Définition
Soient A et B deux points distincts de l’espace.
Le vecteur  est parfaitement déterminé par 

   
- sa direction : celle de la droite (AB),
  
- son sens : de A vers B,
  
- sa norme : la distance AB aussi notée _llll

 
  
Les vecteurs de l’espace ont les mêmes propriétés que les vecteurs du plan.

Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
Les deux vecteurs non nuls  et  sont égaux.
 - si et seulement si ils ont même direction, même sens et même longueur,
 - si et seulement si ABCD est un parallélogramme. 

Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
Les deux vecteurs non nuls  et  sont opposés si et seulement si ils ont même direction, des sens opposés et même norme.
 
Les deux vecteurs et  sont opposés si et seulement si les vecteurs et  sont égaux.

Définition
Des vecteurs sont coplanaires si et seulement si en traçant leurs représentants à partir d’un même point A, les extrémités de ces représentants sont coplanaires avec A.

Exemple

- Les vecteurs ,  et sont coplanaires.

- Les vecteurs ,  et  ne sont pas coplanaires. 

Somme de deux vecteurs
Soient  et  deux vecteurs de l’espace.

Comme les vecteurs et  sont coplanaires, on peut obtenir la somme + de ces deux vecteurs en utilisant les deux méthodes utilisées dans le plan :

- la règle du parallélogramme,
- la relation de Chasles.

où D est le point tel que ABDC est un parallélogramme.

Relation de Chasles

On définit le vecteur k de la façon suivante :

Propriétés
Soient et  deux vecteurs de l’espace et k et k’ deux nombres réels.
Alors : 

Définition
Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si et seulement si l’un des deux est le produit de l’autre par un scalaire. 
et  colinéaires

et 

et

 
 
  
Remarques
1) Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur car
2) Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction. 

Vecteurs colinéaires et droites

Propriétés
Soient A et B deux points distincts de l’espace.
Un point M de l’espace appartient à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs  et sont colinéaires.

On a donc :
le point M appartient à la droite (AB) si et seulement si il existe un nombre réel t tel que  = t

Propriétés
Soient A, B, C et D quatre points de l’espace.

Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles
si et seulement si
les vecteurs

et sont colinéaires.
* Les vecteurs

et

* Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Plans de l’espace
Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace.

Un point M de l’espace appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe deux nombres réels x et y tels que = x + y

Définition
Un repère de l’espace est un quadruplet  formé :
- d’un point O appelé origine du repère,
- d’un triplet  de vecteurs non coplanaires. 
Si les vecteurs  sont deux à deux orthogonaux, le repère est dit orthogonal.

Si de plus on a
 
On dit que le repère est orthonormé.

un repère de l’espace. Pour tout point M de l’espace il existe un unique triplet (x,y,z) de nombres réels tels que  

(x,y,z) sont les coordonnées du point M dans le repère

 
 
Règles de calcul

Propriété 1
Si dans un repère on a (x, y, z) et ^’ (x’, y’, z’) , alors +^’a pour coordonnées (x+x’, y+y’, z+z’) et, pour tout nombre réel k, ,k a pour coordonnées (kx, ky, kz)

Propriété 2
Si A et B sont deux points de l’espace de coordonnées respectives (x_A, y_A, z_A) et (x_B, y_B, z_B) dans un repère, alors

* Le vecteur a pour coordonnées
(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)

* Le milieu de [AB] a pour coordonnées


* Si le repère est orthonormé :