Repères et coordonnées

Cours maths seconde

Repères et coordonnées :

Repérage dans le plan.
Coordonnées de points et de vecteurs.
Formule de la distance et du milieu.
Changement de repère.

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Repères du plan


Si O, I et J sont trois points non alignés du plan, alorsest un repère du plan d’origine O.
On le note  .

 
► La droite (OI) est l’axe des abscisses.
La droite (OJ) est l’axe des ordonnées.




Repère orthogonal et orthonormal


Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors  est un repère orthogonal.

Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et qu’en plus OI = OJ alorsest un repère orthonormal (ou orthonormé).




Exemple


Sur une carte, on peut repérer un point par sa latitude et sa longitude.



Coordonnées d'un vecteur 1


Soient . Alors les coordonnées du vecteur AB se calculent avec la formule suivante :

Exemple :

        Si A(2 ; -1) et B(3 ; 1) ; alors :



Coordonnées d'un vecteur 2


Si M (x ; y) et si O est l'origine du repère, alors :



Exemple :

Si M (2 ; 3) alors :

Coordonnées de la somme et du produit




Exemple :




Coordonnées et égalité


Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées respectives sont égales.


Exemple :


Trouver les coordonnées du point M(x ; y)




Formule de la distance


Si le repère est orthonormé alors la distance entre les points A(XA ; YA) et B(XB ; YB) est donné par la formule :




Exemple


Dans un repère orthonormé, on donne les points suivants :

B(-1 ; 3) et C(2 ; -1)

Alors, la distance BC vaut :



Coordonnées du milieu


Si I est le milieu du segment [AB] ; alors, les coordonnées du point I sont données par la formule suivante : 

Exemple :Soient K(4 ; –2), D(–1 ; 3) et M le milieu de [KD] dans une repère orthonormé.

Calculer les coordonées du point M.


Les coordonnées de M sont :


Changement de repère


Dans un repère , on considère les points A, B, C et M.

- Si A, B et C ne sont pas alignés, alors ils définissent un autre repère
.

- Si on veut les coordonnées du point M dans le nouveau repère  il faut exprimer le vecteur  en fonction des vecteurs  et  .
 

Exemple : Si  alors, dans le repère  on a : 

 
 
         Cours complémentaires :

► Equations d'une droite
► Configurations du plan
► Transformations du plan
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