Réciproque du théorème de Thalès

Cours maths 3ème

Réciproque du théorème de Thalès :

Ce cours a pour objectifs de démontrer, puis d’utiliser la réciproque de la propriété de Thalès.
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Activité  : Des cas particuliers
 
 
Dans chacun des cas suivants, comparer :
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
 

 
 
Activité  : Figure 1
 
 
 
 
 
Traçons les droites (MN) et (BC).
M est le milieu de [AB] donc :
N est le milieu de [AC] donc :
Ainsi :
 
 
On sait que :
ABC est un triangle, M est le milieu de [AB], N est le milieu de [AC]
Or :
dans un triangle, si une droite joint les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté
Donc :
(MN) // (BC)
 
 
 
Activité  : Figure 2
 
 
 
 
 
 
Traçons les droites (MN) et (BC).
AM = AB  donc
AN = AC  donc
Ainsi :
 
 
On sait que :
M et B sont symétriques par rapport à A
N et C sont symétriques par rapport à A
D’où :
(MN) et (BC) sont symétriques par rapport à A
Or :
si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles
Donc :
(MN) // (BC)
 
Activité : observations
 
Dans chacun des cas suivants,
Placer M et N sur chaque figure puis répondre à la question :
« Les droites (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? »

 
 
 
 
M є [Ax’), N є [Ay’), k = 2÷5 ... (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? Oui
 
 
 
 
M є [Ax), N є [Ay), k = 1
÷4 ... (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? Oui
 
 
 
 
M є [Ax), N є [Ay’), k = 4
÷3 ... (MN) et (BC) semblent-elles parallèles ? Non

 
Quelle condition faut-il ajouter à celle de l’égalité des rapports pour que les droites (MN) et (BC) soient parallèles ?
Il faut en plus que les points A, B, M et les points A, C, N soient alignés et dans le même ordre.
 
 
 

Réciproque du théorème de Thalès

 
 
Enoncé de la réciproque du théorème de Thalès :
 
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de (d) distincts de A.
Soient C et N deux points de (d’) distincts de A.
Si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre et
Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

 
 
A quoi sert ce théorème ?
 

Ce théorème sert à montrer que deux droites sont parallèles.
 
 
 

Exemple d’application de la réciproque du théorème de Thalès

 
 
 
Exemple :
 
AC = 10 cm
AE = 4 cm
AD = 6 cm
AB = 15 cm
 
Montrer que les droites (ED) et (BC) sont parallèles.
 
 

 
On sait que :
les points A, E, C et les points A, D, B sont alignés dans le même ordre et
D’après la réciproque du théorème de Thalès :

les droites (ED) et (BC) sont parallèles

  
 
         Cours complémentaires :

► Théorème de Thalès
► Triangle rectangle - propriétés
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