Raisonnement par récurrence

Cours maths Terminale S

Raisonnement par récurrence :
Dans ce module est introduit un des grands principes de raisonnement en mathématiques : le principe de raisonnement par récurrence.
Ce grand principe expliqué et illustré dans le cas général est ensuite appliqué aux suites.
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 1/ Intérêt du raisonnement par récurrence

Intéressons-nous au signe de la suite (un) définie par :
Comme
u0 > 0 , 5u0 + 4 > 0 et donc u1 > 0
De même : Comme
u1 > 0, 5u1 + 4 > 0 et donc u2 > 0

Il est clair que l’on peut continuer ce raisonnement jusqu’à atteindre n’importe quel terme, et que donc : pour tout n : un > 0

Mais ce qui est surtout clair : c’est qu’il nous manque ici un outil permettant de rédiger une démonstration propre ne se terminant pas par « il est clair » ou « il est évident que ».

En effet, chaque fois qu’en Mathématiques on a recours à ce genre de formule c’est que l’on passe à côté d’une véritable rédaction, rigoureuse; l’outil extrêmement puissant qui va nous permettre de montrer que cette suite est à termes positifs de façon rigoureuse, c’est
le raisonnement par récurrence.


2/ Principe du raisonnement par récurrence.

Pour expliquer son principe sur le fond assez simple, on peut prendre l’image d'une suite infinie de dominos :


Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :
1° que le premier domino D0 tombe.
Problème : rien ne garantit qu’alors le dominant suivant D1 tombe aussi.
Cette première condition s’appelle : l’initialisation.

Il faut donc que je vérifie une deuxième chose :
2° que quel que soit le domino Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.
Cette deuxième condition s’appelle : l’hérédité.
Ainsi, comme d’après 1° D0 tombe, alors d’après 2° D1 tombe.
Comme
D1 tombe, d’après 2° D2 tombe.

Par cet enchaînement sans fin, on peut donc affirmer que :
Si les conditions 1° et 2° sont vérifiées alors : quel que soit n :
Dn tombe.


3/ Application du raisonnement par récurrence aux suites.

Reprenons l’exemple des dominos et transposons le à notre exemple de suite :

Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :
1° que le premier domino
D0 tombe.
2° que quel que soit le domino
Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.
Le but pour notre suite (
un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

« le domino Dn tombe » 
correspond pour la suite
 à la propriété :
un > 0 
Montrer 1° :
que le premier domino
D0 tombe.
correspond pour la suite
 à montrer que :
u0 > 0
Montrer  2° :
que quel que soit le domino
Dp,
s’il tombe alors le suivant
Dp+1 tombe aussi.
correspond pour la suite
 à montrer que :
Si up > 0
alors
up+1 > 0
3.1/ Rédaction du raisonnement par récurrence appliqué aux suites

Le but pour notre suite (un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

Voyons d’un point de vue pratique comment rédiger la chose :

Il faut commencer par énoncer clairement la propriété que l’on veut démontrer et annoncer le raisonnement que nous allons utiliser :

Montrons par récurrence la propriété suivante : pour tout n : un > 0


Initialisation :
u0 = 2  d'où u0 > 0
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up > 0
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 > 0
up > 0  Donc : 5up + 4 > 0  D'où  up+1 > 0 et il y a donc hérédité.

Conclusion : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.



4 / Raisonnement par récurrence et expression du terme général

Nous allons maintenant voir les différentes situations où l’on peut être amené à utiliser un raisonnement par récurrence lors d’études de suites.
Utilité  n ° 1 : démontrer une formule pour le terme général.
Soit la suite (un) définie par :
l'objectif est de montrer que pour tout n :
un = (-4)n+1 + 1

Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n :
un = (-4)n+1 + 1

Initialisation :
(-4)0+1 + 1 =  -4 + 1 = -3   Donc :
u0 = (-4)0+1 + 1
Attention !
Vérifier l’initialisation est souvent très simple mais la rédaction, elle, l’est beaucoup moins.
Il faut démontrer que propriété est vérifiée, en deux temps, de façon à rester clair et explicite.


La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité
:
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up = (-4)p+1 + 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 = (-4)p+2 + 1

Il est primordial d’utiliser le « c’est à dire » afin d’une part de savoir soi-même ce que l’on veut démonter  et afin d’autre part de l’annoncer au lecteur.


Il y a donc hérédité.

Conclusion :

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.


5/ Raisonnement par récurrence et encadrement du terme général
Utilité  n ° 2 : majorer, minorer, encadrer une suite.
Soit la suite (un) définie par :
L’objectif est de montrer que pour tout n : 0 <
un < 1
Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : 0 < un < 1

Initialisation :
  Donc
0 < u0 < 1
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
0 < up < 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : 0 < up+1 < 1


Il y a  trois méthodes pour démontrer cette hérédité :

Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.
 
Or par hypothèse : up > 0
Donc up + 2 > 2 > 0
D'où up+1 -1 < 0     Donc up+1 < 1
 
Or par hypothèse up > 0
Donc up + 2 > 2 > 0    et    up + 1 > 1 > 0
D'où up+1 > 0
Au total : 0 < up+1 < 1    l'hérédité est vérifiée.

Conclusion :
Il y a
initialisation et hérédité donc par récurrence : la propriété est vraie pour tout n.


Méthode 2 : en manipulant des inégalités.
        Hypothèse 0 < up < 1
Donc  1 < up + 1 < 2
et :      2 <
up + 2 < 3
Attention !
L’erreur classique est de vouloir diviser les inégalités.

Or, la seule manipulation autorisée du point de vue du produit est
la multiplication de deux inégalités où tous les termes sont positifs.

Il faut donc passer à l’inverse. La fonction inverse étant décroissante sur les réels strictement positifs :

    

D'où par produit de positifs
Soit         Or
D'où 0 < up+1 < 1 et l'hérédité est donc vérifiée

Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.


Il suffit d’étudier les variations de f sur l’intervalle de l’encadrement, c’est à dire : [0 ; 1]

D’où le tableau de variations de f :

   Donc si 0 < x < 1 alors 0 < < 1
   Or 0 < up < 1 donc 0 < f(up) < 1
soit : 0 < up+1 < 1
 


L’hérédité est donc vérifiée.


Bilan sur les trois méthodes utilisées :
Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.
Méthode un peu longue mais toujours applicable, simple et efficace.

Méthode 2 : en manipulant des inégalités.
Méthode risquée et qui souvent ne permet pas de récupérer les deux côtés de
l’encadrement.

Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.
Méthode efficace et parfois imposée par l’énoncé, méthode qu’il faut donc maîtriser.

6/ Raisonnement par récurrence : utilisation élargie

Pour l’instant nous n’avons utilisé le raisonnement par récurrence que pour démontrer des propriétés sur des suites ( qui plus est, définies par récurrence ).

Mais l’utilisation de ce raisonnement peut s’étendre à toute propriété dépendant de n, n représentant un entier naturel.

Exemple : Montrons que la somme des n premiers entiers non nuls vaut :

Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n non nul :
Initialisation :
La propriété est vraie au rang 1, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire

Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire :

1+2+...+(p+1)=(1+2+...+p)+(p+1)=


et il y a donc hérédité.

Conclusion :
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n non nul.


Remarques
:
 1° Toute propriété dépendant de n peut en fait être assimilée à une propriété de suite.

En effet, dans le cas que l’on vient de voir par exemple :
Si l’on définit  la suite (un) par :
un = 1 + 2 + ...+ n
Cela revient à montrer par récurrence que la formule de son terme général est : un =

Prenons cet autre exemple qui concerne les nombres complexes :
Montrer que pour tout n : arg(zn) = n argz
Si l’on définit  la suite (
vn) par : vn = arg(zn) - n argz
Cela revient à montrer par récurrence que : pour tout n : vn = 0

Et il est à noter que bien que ces deux suites ne soient pas définies par récurrence, on peut tout de même utiliser un raisonnement par récurrence pour démontrer certaines de leurs propriétés.
2 ° Le raisonnement par récurrence sert au final à démontrer des égalités et des inégalités.


7/ Cas particuliers de récurrence

Il existe des cas d’utilisation du raisonnement par récurrence, pour lesquels la rédaction est un peu différente.
Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes.
Si par exemple la relation lie un+2, un+1 et un alors :
l’initialisation doit porter sur les deux premiers termes et l’hérédité doit supposer la propriété vraie aux rangs p et (p+1).

Cas n° 2 : cas plus exceptionnel.
Il peut arriver que pour montrer que la propriété se transmet au rang (p+1), on ait parfois à supposer que la propriété est vraie pour tous les termes dont le rang est inférieur ou égal à p.

On appelle cette situation un cas de récurrence forte.

         Cours complémentaires :


► Généralités sur les suites
► Convergence des suites
► Suites adjacentes
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