Projection orthogonale

Cours maths 1ère S

Projection orthogonale :
Projection orthogonale
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Rappel : produit scalaire de deux vecteurs
 
 
Définition
 
 Soient    et  deux vecteurs du plan.

 Si 
et sont non nuls, on appelle produit scalaire de et  le nombre réel noté      

défini par : 


 Si
ou est le vecteur nul

alors  
 
 
 Produit scalaire et projection orthogonale
 

Théorème
 
 Soient A, B,C trois points du plan tels que     et   et soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors :


 

 
Configurations fondamentales

 





Configurations fondamentales















Projeté orthogonal d’un vecteur sur un axe

Théorème et définition

Soient 
  un vecteur unitaire d’un axe (A , ) et    un vecteur.

Il existe un unique vecteur  colinéaire à
tel que .

On l’appelle projeté orthogonal de 
sur (A , ). 


Démonstration


Tout vecteur
  colinéaire à   est de la  forme  où k est un nombre réel. 

Alors

car
est un vecteur unitaire, c’est-à-dire  tel que .

Donc   si et seulement si . Ce qui prouve l’existence

et l’unicité de
.






Projeté orthogonal d’un vecteur

On a donc :

Si
est un vecteur unitaire, est le projeté orthogonal de sur (A,) si et seulement si 

Si     alors   où M’ et N’ sont les projetés orthogonaux de M et N sur
.


                          



Démonstration


Si  et si M’ et N’ sont les projetés orthogonaux de M et N sur (A,
), alors    est un vecteur colinéaire à et on a

                     
                                                  

Or les vecteurs  et  sont orthogonaux à
donc     et 

d’où

Ce qui prouve que 
  est le projeté orthogonal  de   sur (A,).  


Si
  et sont deux vecteurs non nuls, le projeté orthogonal   de     sur un axe  (A, ) est le vecteur

                                                



Exemple


Soient 
    et      les deux vecteurs de coordonnées

respectives    et .

Calculons le projeté orthogonal
du vecteur   sur

l’axe (O,
).

On a
  
                          


d’où
 
               
                 




Le projeté orthogonal 
   de      sur l’axe (O, ) est le vecteur    du cordonnées .                                                 

 
 


         Cours complémentaires :

► Produit scalaire
► Applications du produit scalaire

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