Projection orthogonale

 
Définition
 
 Soient  et  deux vecteurs du plan.

 Si  et sont non nuls, on appelle produit scalaire de et  le nombre réel noté  

défini par : 

 Si ou est le vecteur nul

alors 
 
 
 Produit scalaire et projection orthogonale
 
Théorème
 
 Soient A, B,C trois points du plan tels que  et  et soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors :

 
Configurations fondamentales

 

Configurations fondamentales

Théorème et définition

Soient  un vecteur unitaire d’un axe (A , ) et  un vecteur.

Il existe un unique vecteur  colinéaire à tel que .

On l’appelle projeté orthogonal de  sur (A , ). 

Démonstration

Tout vecteur  colinéaire à  est de la forme  où k est un nombre réel. 

car est un vecteur unitaire, c’est-à-dire tel que .

et l’unicité de .

Projeté orthogonal d’un vecteur

On a donc :

Si est un vecteur unitaire, est le projeté orthogonal de sur (A,) si et seulement si 

Si  alors  où M’ et N’ sont les projetés orthogonaux de M et N sur .

Démonstration

Si  et si M’ et N’ sont les projetés orthogonaux de M et N sur (A,), alors  est un vecteur colinéaire à et on a

Or les vecteurs  et  sont orthogonaux à donc  et 

d’où

Ce qui prouve que  est le projeté orthogonal de  sur (A,). 

Si  et sont deux vecteurs non nuls, le projeté orthogonal  de  sur un axe (A, ) est le vecteur

Exemple

Soient  et  les deux vecteurs de coordonnées

Calculons le projeté orthogonal du vecteur  sur

l’axe (O, ).

Le projeté orthogonal  de  sur l’axe (O, ) est le vecteur  du cordonnées .