Produit scalaire

 
 
1 / Orthogonalité de deux vecteurs

Definition

- par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
- soient  et  deux vecteurs non nuls, et A, B et C trois points tels que 

Les vecteurs  et  sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
On note : . 
Qui se lit :  orthogonal à .

Remarque :
Comme il est toujours possible de trouver deux représentants coplanaires de deux vecteurs,cette définition est valable dans le plan et dans l’espace.

1/ Orthogonalité de deux droites

Definition

Deux droites sont dites orthogonales si les vecteurs qui les dirigent sont orthogonaux.

Mais, contrairement aux vecteurs, les droites n’ont pas de multiples représentants.

Conséquence :
Deux droites de l’espace dont orthogonales si une parallèle de l’une
est perpendiculaire à une parallèle de l’autre.

Cas particulier :
Deux droites orthogonales et coplanaires sont perpendiculaires.
Deux droites orthogonales et sécantes sont donc perpendiculaires.

 
 
 
Sur cette figure :

1/ Orthogonalité d’un plan et d’une droite

Définition

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan.

Théorèmes :

Une droite est orthogonale à un plan si un vecteur qui la dirige est orthogonal à deux vecteurs directeurs, non colinéaires, du plan.
Ou encore, si un vecteur qui la dirige est colinéaire à un vecteur normal au plan.

Nous reviendrons en détail,dans le module suivant, sur les différentes façons
d’engendrer et de définir un plan.

 
 
 

 

 
 

Propriété :

M appartient à (P) si et seulement si MA=MB.

Le plan médiateur est l’ensemble des points équidistants de A et de B dans l’espace

En classe de première S, le produit scalaire a été défini pour deux vecteurs du plan. 
Selon les professeurs et les manuels scolaires, les définitions diffèrent
mais sont toutes équivalentes.
Dans, ce module, nous en choisirons une et les autres seront considérées comme des propriétés.

Considérons maintenant deux vecteurs  et  de l’espace.
Deux vecteurs étant toujours coplanaires, il existe au moins un plan les contenant.
( ou si l’on veut être plus rigoureux : contenant deux de leurs représentants )
On peut donc calculer leur produit scalaire, en utilisant la définition du produit scalaire dans ce plan.

Tous les résultats vus sur le produit scalaire dans le plan,restent donc valables dans l’espace.

Rappelons l’ensemble de ces résultats et revoyons les méthodes de calcul du produit scalaire.

Definition

Soient  et  deux vecteurs de l’espace.
- si  et  sont colinéaires

- si  et  sont orthogonaux : 

La propriété de distributivité :

Quels que soient les vecteurs  ,  et  : 

La propriété de commutativité :
Quels que soient les vecteurs  et  :

Quels que soient les vecteurs  et 

De cette dernière égalité découle la deuxième méthode de calcul du produit scalaire : 

Et d’après le théorème de Pythagore : 

Quels que soient les vecteurs  et  : 

Où  désigne le projeté orthogonal de  sur .

La méthode n° 3 pour calculer un produit scalaire consistera donc à projeter l’un des vecteurs sur l’autre.
 
Cette méthode est en fait assez proche de la méthode n° 1, l’un des vecteurs étant décomposé en un vecteur colinéaire et un vecteur orthogonal à l’autre.

Dans un plan orienté dans le sens direct :

Quels que soient les vecteurs  et   :

La méthode n° 4 consiste donc à utiliser le cosinus :

Or, en utilisant le triangle rectangle DBC :

Quels que soient les vecteurs  et  :

Outre son intérêt calculatoire, ce résultat a pour conséquence une propriété fondamentale :

Deux vecteurs  et  sont orthogonaux si et seulement si :

Dans un plan muni d’un repère orthonormé  : 

En effet  : 

Or les deux vecteurs de base sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul, d’où :

De même, dans l’espace muni d’un repère orthonormé  :

La méthode n° 5 consiste donc à utiliser l’expression analytique pour calculer un produit scalaire.

Conséquence :
 
résultat évident d’après le théorème de Pythagore

Et dans l’espace muni d’un repère orthonormé : 

On peut donc grâce à ce résultat calculer la distance entre deux points de l’espace :

Théorème

Si  est un vecteur normal à la droite (D)

alors (D) a une équation cartésienne du type : 

Exemple de recherche de l’équation cartésienne d’une droite :

Soit la droite (D) passant par A ( 1 ; 2 ) et de vecteur normal

(D) a une équation cartésienne du type :

Et A ( 1 ; 2 )  (D) donc : ⇔- 4

D’où l’équation cartésienne de (D) :

On peut également utiliser le produit scalaire, comme vu à la diapositive précédente :

On peut alors en déduire l’équation réduite de (D) :

Reciproque :

Si (D) a une équation cartésienne du type :  alors le vecteur  est un vecteur normal de la droite (D). 

Exemple :

soit .

-4 x 5 + 5 x 4=0 donc  est orthogonal à .

Soit une droite (D) et soit un point A.
On appelle distance du point A à la droite (D), la plus petite distance entre un point M de la droite (D) et le point A.

On la note : d ( A ; (D)).

Théorème  :

d ( A ; (D)) = AH où H est le projeté orthogonal de A sur (D).

En effet d’après le théorème de pythagore, pour tout M de (D) : 

Théorème :

Dans le plan muni d’un repère orthonrmé : la distance du point A à la droite (D) d’équation  est :
 

 Valeur absolue de « l’équation de (D) » appliquée au point A.

 Norme du vecteur normal de coordonnées ( a ; b ).

Remarque
si A  (D), on retrouve bien d(A ; (D))=0.

La démonstration de ce théorème fera l’objet d’un exercice.

7/ Equations cartésiennes de cercles et de sphères.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, considérons le cercle (C) de centre et de rayon R. 


 

Théorème : dans le plan muni d’un repère orthonormé :

L’équation cartésienne du cercle (C) de centre et de rayon R est : 

De même :

Théorème  : dans le plan muni d’un repère orthonormé :

L’équation cartésienne d’une sphère (S) de centre et de rayon R est :

Cette expression devant être développée pour obtenir une équation « réduite ».

Réciproquement, connaissant une forme réduite de l’équation, il faut être capable de retrouver les éléments caractéristiques du cercle ou de la sphère.
C’est à dire : le centre et le rayon.