Produit scalaire

Cours maths Terminale S

Produit scalaire :
Ce module commence par un rappel concernant la définition de l’orthogonalité de deux vecteurs du plan. Notion pouvant être étendue à l’espace.
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1 / Orthogonalité de deux vecteurs

Definition

- par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
- soient  et     deux vecteurs non nuls, et A, B et C trois points tels que 
Les vecteurs  et  sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
On note : 
Qui se lit :  orthogonal à .
Orthogonalité de deux vecteurs

Remarque :
Comme il est toujours possible de trouver deux représentants coplanaires de deux vecteurs,cette définition est valable dans le plan et dans l’espace.

1/ Orthogonalité de deux droites

Definition

Deux droites sont dites orthogonales si les vecteurs qui les dirigent sont orthogonaux.

Mais, contrairement aux vecteurs, les droites n'ont pas de multiples représentants.
Conséquence :
Deux droites de l’espace dont orthogonales si une parallèle de l’une
est perpendiculaire à une parallèle de l’autre.

Cas particulier :
Deux droites orthogonales et coplanaires sont perpendiculaires.
Deux droites orthogonales et sécantes sont donc perpendiculaires.


Orthogonalité de deux droites   
 
 
Sur cette figure :

Ce qui dans les deux cas, se note de la même façon :


1/ Orthogonalité d’un plan et d’une droite

finition

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan.

Théorèmes :

Une droite est orthogonale à un plan si un vecteur qui la dirige est orthogonal à deux vecteurs directeurs, non colinéaires, du plan.
Ou encore, si un vecteur qui la dirige est colinéaire à un vecteur normal au plan.

Nous reviendrons en détail,dans le module suivant, sur les différentes façons
d’engendrer et de définir un plan.

Conséquence  : 

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites non parallèles de ce plan.


Orthogonalité d’un plan et d’une droite  
  
  






 

Orthogonalité d’un plan et d’une droite
   
  

 
 

On peut démontrer l’orthogonalité entre deux droites en utilisant, par exemple, le produit scalaire,comme nous le verrons plus loin.

1/ Orthogonalité : plan médiateur

On appelle plan médiateur du segment [ AB ] , le plan qui est orthogonal à la droite (AB) et qui passe par le milieu de [AB].

Orthogonalité : plan médiateur


« Le plan médiateur est à l’espace ce que la médiatrice est au plan » donc :

Propriété :

M appartient à (P) si et seulement si MA=MB.

Le plan médiateur est l’ensemble des points équidistants de A et de B dans l’espace


propriété de l'orthogonalité : plan médiateur


 2/ Avis au lecteur

En classe de première S, le produit scalaire a été défini pour deux vecteurs du plan. 
Selon les professeurs et les manuels scolaires, les définitions diffèrent
mais sont toutes équivalentes.
Dans, ce module, nous en choisirons une et les autres seront considérées comme des propriétés.

Considérons maintenant deux vecteurs  et  de l’espace.

Deux vecteurs étant toujours coplanaires, il existe au moins un plan les contenant.
( ou si l’on veut être plus rigoureux : contenant deux de leurs représentants )
On peut donc calculer leur produit scalaire, en utilisant la définition du produit scalaire dans ce plan.

Tous les résultats vus sur le produit scalaire dans le plan,restent donc valables dans l’espace.


Rappelons l’ensemble de ces résultats et revoyons les méthodes de calcul du produit scalaire.

3/ Définition du produit scalaire

Definition

Soient  et  deux vecteurs de l'espace.
- si  et   sont colinéaires

- si   et  sont orthogonaux : 


Cas particulier  :
Le vecteur nul étant colinéaire et orthogonal à tout vecteur :


Conséquence : Méthode de calcul n°1.

Une première méthode pour calculer le produit scalaire de  et  consiste donc à décomposer  et   en vecteurs soit colinéaires soit orthogonaux entre eux.

4/ Propriétés et méthodes de calcul


Cette première méthode s’appuie sur la définition et sur certaines propriétés algébriques du produit scalaire, à savoir :

La propriété de distributivité :

Quels que soient les vecteurs   et  

La propriété de commutativité :
Quels que soient les vecteurs  et  :


Propriétés qui ont pour conséquence : la propriété de double distributivité.



Exemple d’utilisation de la méthode n° 1 :
produit scalaire


  colinéaires et de même sens.

 orthogonaux.

  orthogonaux.

 Colinéaires et de sens opposés.


4/ Propriétés et méthodes de calcul

Autres propriétés algébriques du produt scalaire : 

propriétés algébriques du produt scalaire

Quels que soient les vecteurs  et 




propriétés algébriques du produt scalaire



De cette dernière égalité découle la deuxième méthode de calcul du produit scalaire : 



Méthode de calcul n°2 ( Méthode des normes ) :propriétés algébriques du produt scalaire


Exemple d’utilisation de la méthode n° 2 :

Et d’après le théorème de Pythagore : 



Quels que soient les vecteurs  et 

Où  désigne le projeté orthogonal de   sur .

La méthode n° 3 pour calculer un produit scalaire consistera donc à projeter l’un des vecteurs sur l’autre.
 
Cette méthode est en fait assez proche de la méthode n° 1, l’un des vecteurs étant décomposé en un vecteur colinéaire et un vecteur orthogonal à l’autre.



Exemple d’utilisation de la méthode n° 3 :


produit scalaire

 

 

  on peut évidemment appliquer ce resultat directement.

 car les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

Or d'après la reciproque de la droite des milieux : H est le milieu de [DC].




Remarque :
cette méthode est simple à utiliser, si l’on choisit des représentants des vecteurs ayant la même origine.

Dans un plan orienté dans le sens direct :

Quels que soient les vecteurs    et   :


Deux cas sont possibles :
produit scalaire



La méthode n° 4 consiste donc à utiliser le cosinus :


Exemple d’utilisation de la méthode n° 4 :





Or, en utilisant le triangle rectangle DBC :



Quels que soient les vecteurs  et  :

Outre son intérêt calculatoire, ce résultat a pour conséquence une propriété fondamentale :

Deux vecteurs    et    sont orthogonaux si et seulement si :


Démonstration :



La méthode de prédilection pour montrer que deux vecteurs sont orthogonaux
va donc être de montrer que leur produit scalaire est nul.


Ce qui va être extrêmement simple dans un repère orthonormé :

Dans un plan muni d’un repère orthonormé



En effet


Or les deux vecteurs de base sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul, d’où :



De même, dans l’espace muni d’un repère orthonormé :


Remarque :
On appelle cette forme : l’expression analytique du produit scalaire.

La méthode n° 5 consiste donc à utiliser l’expression analytique pour calculer un produit scalaire.
Conséquence :
 
résultat évident d’après le théorème de Pythagore
Et dans l’espace muni d’un repère orthonormé : 

On peut donc grâce à ce résultat calculer la distance entre deux points de l’espace :


5/ Équation cartésienne d’une droite du plan

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.

Une direction de droite peut donc être définie par perpendicularité à une droite donnée,ou encore par orthogonalité à un vecteur donné.

En terme de vecteur, on ne parle alors plus de vecteur directeur mais de vecteur normal.

Une droite est entièrement définie par la donnée d’un point A et d’un vecteur normal 


Équation cartésienne d’une droite du plan


On a alors : 

D’où, si le plan est rapporté à un repère orthonormé




Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (D).

Théorème

Si  est un vecteur normal à la droite (D)

alors (D) a une équation cartésienne du type : 


Exemple de recherche de l’équation cartésienne d’une droite :
Soit la droite (D) passant par A ( 1 ; 2 ) et de vecteur normal

(D) a une équation cartésienne du type :


Et A ( 1 ; 2 )  (D) donc :
- 4

D’où l’équation cartésienne de (D) :


On peut également utiliser le produit scalaire, comme vu à la diapositive précédente :



On peut alors en déduire l’équation réduite de (D) :


Reciproque :

Si (D) a une équation cartésienne du type :  alors le vecteur   est un vecteur normal de la droite (D). 


Remarques pratiques :

A partir d’un vecteur du plan donné, il est facile de fabriquer un vecteur qui lui est orthogonal.

Exemple :

soit .

-4 x 5 + 5 x 4=0    donc  est orthogonal à  .

Il suffit de croiser les coordonnées et de changer l’un des deux signes.

Connaissant un vecteur normal, on peut donc trouver un vecteur directeur

Inversement, si une droite est définie à l’aide d’un vecteur directeur,

il suffit de fabriquer à partir de ce vecteur, un vecteur qui lui est orthogonal.

Ce vecteur étant normal à la droite, on peut alors en déduire son équation cartésienne.


6/ Distance d’un point à une droite du plan

Soit une droite (D) et soit un point A.
On appelle distance du point A à la droite (D), la plus petite distance entre un point M de la droite (D) et le point A.

On la note : d ( A ; (D)).
Théorème :

d ( A ; (D)) = AH où H est le projeté orthogonal de A sur (D).

Distance d’un point à une droite du plan

En effet d'après le théorème de pythagore, pour tout M de (D) : 

Théorème :

Dans le plan muni d'un repère orthonrmé : la distance du point A à la droite (D) d'équation  est :
 

 Valeur absolue de « l’équation de (D) » appliquée au point A.

 Norme du vecteur normal de coordonnées ( a ; b ).


Remarque
si A  (D), on retrouve bien d(A; (D))=0.

La démonstration de ce théorème fera l’objet d’un exercice.


7/ Equations cartésiennes de cercles et de sphères.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, considérons le cercle (C) de centre et de rayon R. 


 
Théorème : dans le plan muni d’un repère orthonormé :
L’équation cartésienne du cercle (C) de centre et de rayon R est : 

De même :


Théorème : dans le plan muni d’un repère orthonormé :

L’équation cartésienne d’une sphère (S) de centre et de rayon R est :



Cette expression devant être développée pour obtenir une équation « réduite ».

Réciproquement, connaissant une forme réduite de l’équation, il faut être capable de retrouver les éléments caractéristiques du cercle ou de la sphère.
C’est à dire : le centre et le rayon.

         Cours complémentaires :

► Equations de plans
► Représentations de droites
► Barycentre
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