En prenant pour exemple différentes expériences aléatoires, les objets que sont les p-listes, les arrangements, les permutations et les combinaisons sont dans un premier temps définis.

Puis on apprend à dénombrer les arrangements à l’aide d’un arbre de choix ou à l’aide de cases. Une formule générale en est déduite puis appliquée au cas particulier d’arrangements que sont les permutations. On définit alors la notion de factorielle. Dans la foulée, on apprend à également dénombrer les p-listes.

Le lien est ensuite fait entre le nombre d’arrangements et le nombre de combinaisons des éléments d’un même ensemble. La formule du nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments en est déduite.

Ce nombre appelé : « p parmi n » est l’objet d’étude de la fin du cours.

On apprend à le calculer de façon pratique puis ses diverses propriétés sont étudiées, notamment à l’aide du triangle de Pascal.

Le cours se termine par la formule du binôme de Newton.

Les quatre premiers exercices sont l’occasion d’apprendre à dénombrer de façon progressive les différents objets vus dans la leçon.

Les situations y sont à la fois variées et originales. Exercices de référence et exercices demandant des prises d’initiative se côtoient.

L’accent est mis en particulier sur l’utilisation de la notion de partition pour dénombrer de façon juste et efficace.

Le dernier exercice regroupe des applications classiques de la formule du binôme de Newton.

Le vocabulaire ensembliste lié à la manipulation des événements est révisé.

Les notions de réunion et d’intersection sont revues, ainsi que le calcul de leur cardinal. Evénement contraire et événements incompatibles sont au passage définis. Un point est également fait sur la notion de partition d’un ensemble.

La notion de probabilité est définie dans le cas général puis dans le cas d’un univers équiprobable. Ses propriétés sont énumérées et démontrées dans le cas de l’équiprobabilité.

Le module se termine par la définition de la notion de variable aléatoire.

Deux exemples concrets de variables aléatoires sont tirés d’une même d’expérience aléatoire. On apprend ensuite de façon pratique à établir la loi de probabilité d’une variable aléatoire. L’étude des paramètres liés à toute loi que sont l’espérance, la variance et l’écart type vient clore la partie cours.

La partie exercice débute par un grand classique, qui en plus du calcul de simples probabilités nécessite la tenue d’un petit raisonnement ensembliste.

Dans le deuxième exercice, des tirages effectués dans une urne sont prétexte au calcul de probabilités et à l’étude de la loi de probabilité d’une variable aléatoire.

L’exercice n° 3 est plus original puisqu’il s’appuie sur un jeu de fléchettes, donnant l’occasion d’organiser un jeu d’argent. Il sera au final à la charge de l’élève de déterminer si le jeu est favorable au joueur grâce à l’étude d’une loi de probabilités.

L’avant dernier exercice est tiré du BAC et le dernier, sans nul doute le plus difficile concerne la formation aléatoire de mots.

Dans tous ces exercices, l’accent est mis sur la maîtrise des techniques de base consistant en particulier à utiliser partitions et événement contraire.

La répétition de cette expérience de façon indépendante permet ensuite de dresser un arbre pondéré composé.

Après avoir fait le lien entre parcours sur l’arbre et événements, on apprend à remplir un tel arbre et à calculer à l’aide de ce nouvel outil.

La loi des probabilités totales est énoncée puis illustrée à l’aide du calcul sur un arbre pondéré.

Au travers de l’enchaînement d’expériences non indépendantes, la notion de probabilité conditionnelle est ensuite introduite.

Un arbre pondéré de référence est établi, permettant de retenir l’ensemble des formules liées à cette nouvelle notion.

La définition d’événements indépendants et de variables aléatoires indépendantes vient clore la partie cours.

Le premier exercice qui n’est pas lié à une situation d’équiprobabilité permet de façon originale de se familiariser avec la notion d’événements indépendants.

Le deuxième exercice et le cinquième sont des grands classiques, où se côtoient calculs de probabilités conditionnelles, loi des probabilités totales et variable aléatoire.

Le troisième exercice, tiré du BAC est un exercice de référence, mélangeant probabilités, suites et variable aléatoire.

Le quatrième exercice, enfin, traite de la notion marginale qu’est l’indépendance de deux variables aléatoires.

Deux exemples d’expériences aléatoires sont ramenés à une schématisation du type Bernouilli grâce à la définition des événements succès et échec.

Une épreuve de Bernouilli de référence est ensuite répétée, définissant ainsi une expérience de Bernouilli.

On apprend alors à calculer les probabilités des événements liés à une telle expérience, en utilisant son arbre pondéré, appelé « schéma de Bernouilli ».

La variable aléatoire dénombrant les succès lors d’une telle expérience est introduite et la loi qu’elle suit est établie.

Le type de loi suivi par cette variable est défini de façon plus générale, sous l’appellation de loi binomiale. Espérance et variance pour une telle loi sont calculées et des exemples de son utilisation sont donnés.

La deuxième partie du cours est consacrée à la mise au point d’un test permettant par exemple de savoir si un dé est pipé.

Ce test comparant résultats statistiques observés et résultats statistiques de référence est appelé test d’adéquation à une loi équirépartie.

Le premier exercice est un cas classique d’exercice de probabilités conditionnelles se terminant par une expérience de Bernouilli, une fois l’événement succès défini.

Le deuxième exercice est une sorte de relecture du cours sur le test d’adéquation appliqué à un exemple concret.

Les trois derniers exercices sont tirés du BAC et abordent parfois de façon originale les différentes notions vues dans ce module et dans les précédents.

La correction de ces exercices oscille volontairement selon les cas entre calculs à partir du schéma de Bernouilli et application directe de la loi binomiale. L’important étant pour l’élève de se familiariser avec les deux méthodes.

Le cours commence par une explication sur la différence entre variable aléatoire discrète et variable aléatoire continue.

Au passage, les résultats sur la loi binomiale, qui est une loi discrète, sont rappelés.

On définit ensuite la notion de loi continue comme intégrale d’une fonction appelée densité de probabilité.

Les conditions pour qu’une fonction f soit une densité de probabilité sont détaillées et démontrées.

On étudie alors les résultats généraux liés aux lois ainsi définies : propriétés algébriques, espérance mathématique, techniques de calcul, probabilité de l’événement contraire.

Un exemple de fonction densité est donné ainsi qu’une illustration graphique de la loi continue qu’elle engendre.

On s’intéresse ensuite aux deux cas particuliers de lois continues que sont la loi uniforme et la loi exponentielle.

Pour chacune, les résultats calculatoires qui leurs sont propres sont donnés et démontrés.

Tour en sachant, cependant, que ces résultats sont plus à savoir redémontrer qu’à apprendre.

Le cours se termine par l’explication du lien entre loi exponentielle et loi de durée de vie sans vieillissement.

La partie exercice est entièrement constituée d’exercices tirés du BAC.

Le premier exercice, concernant le temps d’attente à la caisse d’un supermarché, commence par un R.O.C dans lequel on redémontre entre autre qu’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle obéit à la loi de durée de vie sans vieillissement.

Dans la suite, connaissant la probabilité d’un événement, il s’agit de trouver le paramètre de la loi exponentielle. De là s’en déduisent plusieurs résultats, dont un calcul de probabilité conditionnelle.

Comme souvent, l’exercice se termine par une situation conduisant à l’application d’une loi binomiale.

Le deuxième exercice qui s’intéresse au personnel d’un hôpital est assez original.

On y fait un petit tour des probabilités vues en terminale.

En effet, calcul de probabilités conditionnelles côtoient loi uniforme et loi binomiale.

Le troisième exercice, concernant la durée de vie d’un robot, assez classique, a pour originalité la recherche de la « demi-vie » du robot.

Le quatrième exercice s’intéresse à la fabrication de cylindres.

Cet exercice très complet, est un exercice de référence.

Dans la partie A, on travaille sur l’interprétation graphique de la fonction densité de probabilité, liée à une loi exponentielle.

Dans la partie B, on redémontre au travers d’exemples, des résultats du cours.

A savoir entre autre, le résultat concernant l’espérance mathématique, à l’aide d’une intégration par parties.

Dans la partie C, les résultats de la partie B sont utilisés pour construire un exercice de probabilités conditionnelles. Puis, on s’intéresse à la répétition de l’expérience étudiée, ceci conduisant à un calcul utilisant une loi binomiale.