Ppcm

Cours maths Terminale S

Ppcm :
Dans la première partie du cours sont rappelées, les notions de PGCD et de nombres premiers entre eux. La deuxième partie est consacrée au PPCM de deux nombres entiers; puis ses diverses propriétés sont exposées et démontrées ; enfin, on s’intéresse ensuite aux diverses techniques permettant de le calculer, par ex la déduction à partir du PGCD.
► Sommaire cours maths Terminale S

      A voir aussi :


► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions
► menu 600 VIDEOS       
 
   
1/ Rappels sur le PGCD


Définition du PGCD de deux entiers naturels non nuls :
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls,
alors ils possèdent un plus grand diviseur commun, d, aussi appelé plus grand commun diviseur
et donc noté :
d = pgcd (a,b)    ou   d = ab
Remarques :
1)
pgcd (a,b)  = pgcd (b,a)  
2) si a et b sont des entiers relatifs non nuls :  pgcd (a,b) = pgcd (lal,lbl)  

la première méthode pour trouver le PGCD est d'utiliser la définition :

Méthode n° 1 :
- trouver l’ensemble des diviseurs de chaque nombre.
- lister les diviseurs communs dans l’ordre croissant et prendre le plus grand.
méthode n°2
La deuxième méthode pour trouer PGCD s'appuie sur l'utilisation des décompositions en produit de facteurs premiers de a et de b.

Rappel :
Si la décomposition en facteurs premiers de a est :
Alors, tout diviseur d de a s’écrit :
avec pour tout i compris entre 1 et m :  0 < i < i

Conséquence
Avec pour tout i compris entre 1 et n : i = min (i ; i)

D'où
Méthode n° 2
:
- décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers.
- affecter aux facteurs premiers communs l’exposant le plus petit.
méthode n°3

Théorème de l'algorithme d'Euclide : Soient  a et b deux entiers naturels non nuls.

Si b divise a alors pgcd (a,b) = b
Sinon pgcd (a,b)  est le dernier reste non nul
dans les divisons euclidiennes successives du diviseur par le reste.

D'où
méthode n°3
- effectuer les divisions successives de l’algorithme d’Euclide.
- le dernier reste non nul est le pgcd de a et de b.
Remarques :
1) Que l’on divise a par b ou b par a n’a aucune importance.
Autant donc toujours diviser dès le départ le plus grand nombre par le plus petit.

2) Si a et b sont des rélatifs, on divisera laplus grande valeur absolue par la plus petite.

3) Si une des divisions a un reste égal à 1 alors
pgcd (a,b) = 1 car le reste suivant strictement inférieur à 1 ne peut être que nul.

Nombres premiers entre eux

Définition : Soient  a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont dits premiers entre eux si   pgcd (a,b) = 1
Remarques :
1) deux nombres premiers entre eux ont donc 1 pour seul diviseur commun.
2) si a est un nombre premier et que a ne divise pas b alors a et b sont premiers entre eux.


Théorème de Bézout :
a et b sont premiers entre eux 
si et seulement si
il existe u et v entiers relatifs tels que : a x u + b x v = 1
de ce théorème se déduisent un grand nombre de propriétés, qu'il faut être capable de redémontrer car elles peuvent être l'objet d'un R.O.C. au bac.
Propriété n° 1
Quel que soit k, entier naturel non nul : si pgcd (a,b) = 1 alors pgcd (ka,kb) = k

si k est un relatif non nul :
(ka,kb) = lkl
Propriété n° 2
pgcd (a,b) = d

il existe a’ et b’ entiers relatifs tels que : a = da’ et b = db’ avec pgcd (a',b') = 1
Remarques :
1) Cette propriété est très utile pour ramener la résolution de problèmes au cas plus simple de nombres premiers entre eux.

2) Elle peut également être utilisée pour trouver le PGCD de deux nombres écrits sous la forme d’un produit de deux facteurs.
Exemple : 55 = 5 x 11 et 65 = 5 x 13.
11 et 13 sont premiers entre eux donc d’après la réciproque le PGCD de 55 et 65 est 5.

Propriété n° 1
( étendue )
Quel que soit k, entier naturel non nul :  pgcd (ka,kb) = kpgcd (a,b)
si k est un relatif non nul :  pgcd (ka,kb) = lklpgcd (a,b)
Remarque :
cette propriété est particulièrement utile pour simplifier la recherche du pgcd de deux grands nombres ayant un diviseur commun évident.

Propriété n° 3 : ( extension du sens direct du Théorème de Bézout )
Si  pgcd (a,b) = d alors il existe u et v entiers relatifs tels que : a x u + b x v = d
Attention! la réciproque est fausse quand le PGCD ne vaut pas 1, cependant :

Propriété n° 4 :
Si d entier non nul peut s’écrire  d = a x u + b x v  avec u et v entiers relatifs alors : pgcd (a,b) divise d.

Propriété n°5

Tout diviseur commun à a et b divise le pgcd de a et b
Conséquence :
Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs du pgcd de a et b.



Et enfin, l'autre grand théorème de l'arithméthique en terminale :

Théorème de Gauss : soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls.

Si a divise bc et a et b premiers entre eux alors a divise c.
il est à noter que la démonstration du théorème de Gauss à partir du théorème de Bézout est un des R.O.C. les plus posés au bac
2/ PPCM : définition

Soient a et b deux entiers naturels non nuls.

Notons  M(a)  l’ensemble des multiples de a et   M(b) celui des multiples de b.
L’ensemble de leurs multiples communs est noté :  M(a,b).  
M(a,b) =  M(a)  M(a) ;

ab est un multiple de a et de b donc 
M(a,b)  n’est pas vide.
M(a,b) étant un sous ensemble non vide de , il admet un plus petit élément.

Définition du PPCM de deux entiers naturels non nuls :
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls,
alors ils possèdent un plus petit multiple commun, aussi appelé :
plus
petit commun multiple
et donc noté : ppcm (a,b)
Remarques :
1) si a et b sont deux entiers relatifs non nuls,
ppcm (a,b) = ppcm (lal,lbl)
2) si b divise a alors ppcm (a,b) = a   (ou plus généralement lal si a est un entier relatif )

Propriétés
Propriété n° 1 : soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Si  pgcd (a,b) = 1   alors  ppcm (a,b) = ab 
( ou labl si a et b sont des relatifs non nuls.)
Démonstration dans le cas de naturels :
Soit m multiple commun à a et b.
Il existe alors m’ entier naturel non nul tel que : m = am’
m est un multiple de b donc b \ m
d’où b \ am’


Or a et b sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss : b \ m’.

D’où, il existe m’’ entier naturel non nul tel que : m’ = bm’’.

m = abm’’ par conséquent ab \ m.

Or ab et m sont des entiers naturel avec m non nul donc : ab < m
ab est donc inférieur à tout multiple commun à a et b,

or ab est lui-même un multiple commun à a et b
donc ab est le ppcm de a et b.


Propriété n° 2 :soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Quel que soit k, entier naturel non nul : si pgcd (a,b) = 1  alors ppcm (ka, kb) = kab
( ou  lkabl s’il s’agit de relatifs )
Démonstration dans le cas de naturels :
Soit m multiple commun à ka et kb.
Il existe alors m’ entier naturel non nul tel que : m = kam’
m est un multiple de kb donc kb \ m
d’où kb \ kam’.


Il existe donc k’’ entier naturel non nul tel que : kam’ = kbk’’

Or k est non nul donc : am’ = bk’’, d’où : b \ am’.
Et l’on termine alors cette démonstration comme la précédente.

De cette propriété se déduit la suivante :

Propriété n° 3 :Relation entre le PGCD et le PPCM.
pgcd (a,b) x ppcm (a,b) = a x b
Grâce à la relation entre le PGCD et le PPCM, on peut étendre la propriété n° 2 :
Propriété n° 2 ( étendue ) : soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Quel que soit k, entier naturel non nul : ppcm (ka,kb) = kppcm (a,b)
Démonstration dans le cas d’entiers naturels :

pgcd (ka,kb) x ppcm (ka,kb) = ka
x kb
(k x pgcd (a,b)) x ppcm (ka,kb) = k2 x ab
(k x pgcd (a,b)) x ppcm (ka,kb) = k2 x pgcd(a,b) x ppcm (a,b)

En simplifiant  par k
x pgdc (a,b) qui est nul, on obtient donc :
ppcm (ka,kb) = k x ppcm (a,b)

Propriété n° 4 : soient a et b deux entiers relatifs.
Tout multiple commun à a et b est un multiple du ppcm de a et de b.
Démonstration pour des entiers naturels :
Soit d le PGCD de a et de b.
Alors, il existe a’ et b’ entiers naturels non nuls tels que : a = da’ et b = db’
avec a’ et b’ premiers entre eux.

D’où  d’après la propriété n° 2 étendue : ppcm (a,b) = ppcm (da', db') = dppcm (a',b')

= da' b' car a’ et b ’ premiers entre eux
Soit m multiple commun à a et b.
m est multiple de a donc il existe k entier naturel non nul tel que : m = ka

m est multiple de b
donc : b \ ka soit : db’ \ kda’.


Or d’ non nul donc b’ \ ka’.

b’ est premier avec a’ donc d’après le théorème de Gauss : b’ \ k.

Il existe donc k’’ entier naturel non nul tel que : k = k’’b’.

D’où : m = k'' b' a = k'' b' da' = k''ppcm (a,b)
Conclusion : m est un multiple du ppcm de a et b.

Remarque :
On dit alors que le ppcm est également le plus petit multiple au sens de la division.

De plus, réciproquement :
tout multiple du ppcm de a et de b est un multiple commun à a et b donc :
Les multiples communs à a et b sont les multiples du ppcm de a et de b.

3/ Recherche du PPCM : à l’aide du PGCD

Méthode n° 1 :
- calculer le pgcd à l’aide d’une des méthodes vues dans le module sur le PGCD.
- en déduire le ppcm à l’aide de sa relation au pgcd.
Rappels des méthodes vues pour le PGCD :
1) lister tous les diviseurs communs et prendre le plus grand.

2) utiliser la décomposition en facteurs premiers.

3) chercher le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.

Application : chercher le PPCM de 3780 et 792.
Commençons donc par chercher leur PGCD  à l’aide par exemple de l’algorithme d’Euclide.
  Le pgcd est le dernier reste non nul donc pgcd (3780,792) = 36

Or : pgcd (3780,792) = 3780,792 x 792

donc
:

3/ Recherche du PPCM : décomposition en facteurs premiers

Si on appelle p1, p2, ... , pn  les facteurs premiers figurant
soit dans la décomposition de a  soit dans celle de b alors a et b s’écrivent :
Avec pour tout i compris entre 1 et n :  i   > 0  et  i

Soit m multiple commun à a et à b :
a \ m et b \ m  donc la décomposition de m doit comporter tous les pi
d’où  pour tout m multiple commun à a et à b :
Avec pour tout i compris entre 1 et n :
Le plus petit multiple étant celui qui a les puissances les plus petites :

Avec pour tout i compris entre 1 et n : 

Méthode n° 2 :
- décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers.
- affecter à chaque facteur premier commun l’exposant le plus grand.
- conserver l’exposant des facteurs premiers non communs.
Application : reprenons l’exemple de a = 3780 et b = 792.

3780 = 22 x 33 x 5 x 7      792 = 22 x 32 x 11 
D'où ppcm (3780,792) = 23 x 33 x 5 x 7 x 11 = 83160

         Cours complémentaires :

► Divisibilité
► Pgcd
► Congruences
► Equations diophantiennes
► Sommaire cours maths Terminale S

           A voir aussi :

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions

  • Une offre 100% satisfait

    Vous résiliez quand vous voulez et sans pénalités jusqu'au 4ème cours inclus

  • Une solution économique

    -50% sur tous nos cours, vous n'avancez plus l'avoir fiscal! Aucun impact sur votre niche fiscale

  • Des cours à partir de 2.80€

    Educastream vous propose toutes les formules pour tous les budgets