Orthogonalité dans l'espace

Cours maths seconde

Orthogonalité dans l'espace :

Orthogonalité d’une droite et d’un plan et applications.
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Notation


Dans toute la suite, on considère un plan P et une droite d qui coupe le plan P au point I.

Orthogonalité d'une droite et d'un plan


Dire que la droite d est orthogonale au plan P signifie que d est perpendiculaire
à toute droite de P passant par I.


Pour que la droite d soit orthogonale au plan P, il suffit que d soit orthogonale à deux droites sécantes de P passant par I.

Remarque
: Ce théorème est intéressant, il veut dire que si on a prouvé que d est perpendiculaire à deux droites de P, alors elle est perpendiculaire à toutes les droites de P passant par I !

 
Plans parallèles


  • Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
  • Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.




Droites parallèles


  • Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
  • Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.




Droites orthogonales


Deux droites d et d’ (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales si les parallèles à ces deux droites menées par un point I quelconque sont perpendiculaires.

Exemple
:
Dans la figure ci-contre,
les droites (AE) et (BC) sont
orthogonales car :




Remarques et propriétés


  • Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires.
  • Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles.
  • Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.


Lien avec la géométrie plane


Règle : dans un plan de l’espace, toutes les propriétés de la géométrie plane s’appliquent.

Remarque : Cette propriété est intéressante car, dès que l’on se place dans un plan de l’espace, on peut utiliser tous les théorèmes connus (Pythagore, Thalès, trigonométrie, …).


 
 
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► Règles d'incidences
dans l'espace

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