Ordre sur les nombres

Cours maths seconde

Ordre sur les nombres :

Règles sur les inégalités.
Inéquations du premier degré.
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Rappels de quelques notations :
 
 
« x est positif ou nul » s’écrit x ≥ 0.
« x est strictement positif » s’écrit x > 0.
« x est négatif ou nul » s’écrit x ≤ 0.
« x est strictement négatif » s’écrit x < 0.
« x est nul » s’écrit x = 0.
 
« a est inférieur ou égal à b » s’écrit a ≤ b.
« a est strictement inférieur à b » s’écrit a < b.
« a est supérieur ou égal à b » s’écrit a ≥ b.
« a est strictement supérieur à b » s’écrit a > b.
« a est égal à b » s’écrit a = b.

  
Règles essentielles sur les inégalités.
 
 
♦ Ajouter (ou soustraire) un nombre aux deux membres d’une inégalité conserve l’ordre.
 
♦ Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif conserve l’ordre.
 
♦ Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement négatif change l’ordre.
 
 
 
 
Inéquations du premier degré
 
 
Pour résoudre une inéquation du premier degré, on isole x en utilisant les règles essentielles sur les inégalités.
 
 
Exemple :
 
 
 
 
Théorème de transitivité
 
 
Théorème :
 
a, b, c étant trois nombres réels : si a < b et b < c alors a < c.
 
 
Interprétation :
si un premier nombre est plus petit qu’un second nombre et que ce second nombre est lui-même plus petit qu’un troisième nombre alors le premier nombre est forcément plus petit que le troisième nombre.
 
 
 
Inégalité et addition
 
 
Si a ≤ b et c ≤ d alors a + c ≤ b + d.
 
 
Exemple :
 
Si x ≤ 3 et y ≤ -1 alors x + y ≤ 3 + (-1) donc x + y ≤ 2.

 
Remarque :
 
Le théorème reste vrai en remplaçant ≤ par ≥, < ou >.

                  
Exemple :
 

Si a ≥ b et c ≥ d alors a + c ≥ b + d.
 
Si -3 ≤ x ≤ 3 et -4 ≤ y ≤ -1 alors -3 + (-4) ≤ x + y ≤ 3 + (-1) donc -7 ≤ x + y ≤ 2.
 
 
 
Inégalité et multiplication
 
 
Si a, b, c et d sont positifs, si a ≤ b et si c ≤ d alors a x c ≤ b x d.
 
 
Exemple :
 
Si 0 ≤ x ≤ 4 et 0 ≤ y ≤ 5 alors 0 ≤ x.y ≤ 4 x 5 donc 0 ≤ x.y ≤ 20.
 
 
Remarque :
 
Le théorème reste vrai en remplaçant ≤ par ≥, < ou >.

 
Exemple :
 

Si a ≥ b et c ≥ d alors a x c ≥ b x d.
 
Si 2 ≤ x ≤ 4 et 1 ≤ y ≤ 5 alors 2 x 1 ≤ x.y ≤ 4 x 5 donc 2 ≤ x.y ≤ 20.
 
Passage au carré et à la racine carrée
 
 
Deux nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés respectifs :
Si a > 0 et b > 0 alors : a < b équivaut à : a² < b²

 
De même, avec la racine carrée :
 
Si a > 0 et b > 0 alors : a < b équivaut à  :
 
Exemple :
On veut comparer  et  .
 


 
 
 
Comparaison de deux nombres
 
 
Comparer deux nombres a et b, c’est préciser laquelle de ces trois situations est la bonne :
a < b ;  a > b ou a = b.
 
Pour comparer deux nombres X et Y, on peut étudier le signe de leur différence :
♦ Si X – Y est positive alors X > Y
Si X – Y est négative alors X < Y
Si X – Y est nulle alors X = Y
 
Exemple :

 
 
 
 

Comparaison de a, a2 et a3 avec a positif.
 
 
Soit a un nombre réel positif :
♦ Si a est plus grand que 1, alors
a
≤ a2 ≤ a3
♦ Si a est plus petit que 1, alors a3a2 a
 
 
Exemples :
 
Si a = 3 ; alors : a2 = 9 et a3 = 27
a est plus grand que 1 et on a bien :
a a2≤ a3
 
Si a = 0,5 ; alors : a² = 0,25 et a3 = 0,125
a est plus petit que 1 et on a bien :
a3 a2 a
 
 
 
         Cours complémentaires :
        ► Inéquations et tableaux de signes
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