Lois continues

Cours maths Terminale S

Lois continues :
Ce module qui clôt le chapitre des probabilités s’intéresse aux lois continues de probabilités.
Le cours commence par une explication sur la différence entre variable aléatoire discrète et variable aléatoire continue.
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1/ Variable aléatoire discrète - variable alétoire continue
Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé six faces.

Qualifions de succès l’événement : « la face supérieure est 6 ».

Cette expérience peut alors être résumée en deux événements qui sont le succès et l’échec.
On peut donc la considérer comme une épreuve de Bernouilli.

Répétons 5 fois cette épreuve de façon indépendante,
on obtient alors une expérience de Bernouilli.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus.
Les valeurs que peut prendre X appartiennent à l’ensemble : { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }.
X ne peut pas prendre par exemple la valeur 1,23.

X ne peut prendre que des valeurs isolées, on dit que X est une variable aléatoire discrète.

X suit une loi binomiale, qui sera donc elle aussi qualifiée de loi discrète.

Rappels : ici, et 
Considérons un automate muni d’une batterie dont la capacité est de 5 heures.

Soit l’expérience qui consiste à mettre l’automate en marche,
et soit X sa durée de fonctionnement.

L’automate pouvant connaître une panne à tout moment, X peut prendre toute valeur
comprise entre 0 et 5.

Autrement dit, dans ce cas, X peut très bien prendre la valeur 1,23.

X est alors qualifiée de variable aléatoire continue.

Et la loi de probabilité suivie par X est qualifiée de loi continue de probabilité.

2/ Loi continue : fonction densité de probabilité
Théorème :
Soit X variable aléatoire continue, à valeurs dans l’intervalle I = [ a ; b ],
et soit f fonction définie sur I.

Si f est continue et positive sur I et si  alors :

en posant pour tout réel x de I : 
on définit une loi de probabilité continue sur I.
f est alors appelée densité de probabilité de p sur I.

Remarques :
1) Si I = [ a ;  [,  il faut non plus : 
mais : 
Autrement dit, il faut :
2) D’un point de vie pratique, pour montrer qu’une fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I, il faut donc vérifier 3 points :
la continuité sur I, la positivité sur I et prouver que l’intégrale de f sur I vaut 1.

Nous démontrerons plus loin que la loi ainsi définie est bien un loi de probabilité, listons pour le moment les propriétés d’une telle loi.

Propriétés :


Quel que soit x élément de I :
Conséquence : quels que soient x et y éléments de I :



Conséquence :Quels que soient x et y de I, avec  x < y alors : 

D'après la relation de Chasles
Dans le cas où I = [ a ; b ] :
Et dans le cas où I = [ a ;  [ :
Autrement dit :

Montrons enfin, que la loi ainsi définie est bien une loi de probabilité.
Autrement dit, montrons que cette loi vérifie les trois axiomes définissant une loi de probabilité :
Axiome n°1 : la probabilité de l’événement certain vaut 1.
L’événement certain est « X appartient à I ».
Or 
Donc, le premier axiome est vérifié.
Axiome n°2 : la probabilité de tout événement est comprise entre 0 et 1.
Démontrons que cet axiome est vérifié pour un événement du type [ a ; x ].
F étant la primitive de f sur [ a ; b ] qui s’annule en a.
Donc, F’ = f, or f est positive sur [ a ; b ] donc F est croissante sur [ a ; b ]
Par conséquent, si a < x < b  , alors :  F(a) < F(x) < F(b)
Soit :  0 < p ([ a ; x ]) < 1
Nous admettrons que cet axiome est également vérifié pour tout type d’événement.
Axiome n°3 : si A et B sont des événements incompatibles alors p(AUB) = p(A) + p(B)

Démontrons que cet axiome est vérifié pour les événements [ a ; x [  et [ x ; y ].

avec  x et y éléments de I.


Nous admettrons que cet axiome est également vérifié pour tout type d’événement.


La loi définie vérifie les 3 axiomes, il s’agit donc bien d’une loi de probabilité.

3/ Cas particulier n°1 : loi uniforme
Définition :
La variable aléatoire continue X suit une loi uniforme sur l’intervalle [ a ; b ]
si sa densité de probabilité est une fonction f constante sur [ a ; b ].
Propriétés :
1° Pour tout x de [ a ; b ] :   et donc :

Remarque : ces propriétés sont plus à savoir démontrer qu’à apprendre.
Leur démonstration pouvant faire l’objet d’un R.O.C

Démonstration :
f est constante sur [ a ; b ] donc, il existe un réel K tel que pour tout x de [ a ; b ] : f (x) = K.

Exemple d’application :
Considérons l’expérience consistant à choisir un réel entre 5 et 10.
Soit X la variable aléatoire égale à ce réel.

Les réels étant répartis de façon uniforme sur cet intervalle, X suit une loi uniforme.

La densité de probabilité de cette loi est donc une constante K.

Comme  
La probabilité, par exemple que le réel choisi soit sur l’intervalle [ 6 ; 9 ] est donc de :
Ce qui, intuitivement est évident.

En effet, l’intervalle [ 6 ; 9 ] est de longueur 3 et l’intervalle total est de longueur 5.

Donc cet intervalle représente les  des valeurs possibles.
4/ Cas particulier n°2 : loi exponentielle
Définition : soit un réel λ strictement positif.
La variable aléatoire continue X suit une loi exponentielle de paramètre λ sur [ 0 ;  [
si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur [ 0 ;[ par :
Montrons que la loi qui vient d’être définie est bien une loi continue de probabilité :
- f est positive et continue sur [ 0 ;
[
Par conséquent : 
f ainsi définie est donc bien une densité de probabilité sur [ 0 ; [ et la loi définie est alors effectivement une loi continue de probabilité.

Propriétés :
Quel que soit x élément de [ 0 ; [ : 

Conséquence :



Remarque :
Il ne faut pas apprendre ces résultats par cœur.
La définition d’une loi exponentielle étant souvent rappelée dans les sujets de BAC,l’important est de savoir retrouver ces résultats à partir de la définition.


Propriété de durée de vie sans vieillissement :
Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle alors :
pour tous réels x et h positifs :
Autrement dit, si X correspond, par exemple, à la durée de vie en heures d’un automate,
la probabilité pour qu’il dure au moins h heures de plus, sachant qu’il a déjà duré x heures,
est la même que la probabilité pour qu’il vive au moins h heures.

Ce qui signifie que sa durée de vie, ne dépend pas de son âge.


On dit que la loi exponentielle est à une loi de durée de vie sans vieillissement.

Remarques :
1) La démonstration de cette propriété fait l’objet d’un R.O.C dans l’exercice n° 1 dans votre espace membre
2) Réciproquement, toute loi de durée de vie sans vieillissement est une loi exponentielle.

         Cours complémentaires :

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► Evénements
► Probabilités conditionnelles
► Loi binomiale
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