Inéquations et tableaux de signes

Cours maths seconde

Inéquations et tableaux de signes :

Signe d’une expression
Tableau de signes
Inéquations
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Signe d'une expression


Déterminer le signe d'une expression E (x) c'est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles E (x) est strictement positif (E (x) > 0), celles où E (x) est strictement négatif (E (x) < 0) et celles où E (x) est nulle (E (x) = 0).



Méthode pour déterminer le signe d'une expression


Pour déterminer le signe d’une expression E (x) :

  1. On factorise
E (x) (si nécessaire).
  2. On étudie le signe de chacun des facteurs présents dans l’expression factorisée de
E (x).
  3. On construit un tableau de signes et on conclut.



Consignes relatives aux tableaux de signes


  • La 1ère ligne doit contenir les solutions de l’équation E (x) = 0 plus les valeurs interdites en les ordonnant de la plus petite à la plus grande.
  • Lorsqu’une valeur est interdite, il faut l’indiquer par une double barre : ║.
  • On étudie séparément chacun le signe de tous les facteurs.
  • On utilise la règle des signes : « + par + fait + », « + par - fait - », « - par + fait - » et « - par -fait +».
Signe de a.x + b et remarque


Le signe de a.x + b dépend du signe du a :


Remarque : si E (x) est une fraction ; alors, toutes les valeurs qui annulent le dénominateur sont des valeurs interdites.
Exemple


Etude du signe de : E (x) = (x - 3)² - (3x +1)²

Première étape : on factorise. E (x) = (x - 3)² - (3x + 1)²

On reconnait dans ce cas, la troisième identité remarquable :

a² - b² = (a + b) x (a - b)

Donc :

E (x) = ((x - 3) + (3x + &)) x ((x - 3) - (3x + 1))
E (x) = (x - 3 + 3x + 1) x (x - 3 - 3x - 1)
E (x) = (4x - 2) x (-2x - 4)


Deuxième étape : on étudie le signe de chaque facteur.

On a : E (x) = (4x - 2) x (-2x - 4)

Les facteurs sont alors : 4x - 2 et 2x - 4.


-

et comme 4 > 0, on a le tableau :

-


et comme -2 < 0, on a le tableau :


Troisième étape : on construit un talbeau de signes.

Il est établi par les deux tableaux de signes établis précédemment.


On a :

- E (x) < 0 pour x < -2 et pour x > 0,5
- E (x) > 0 pour -2 < x < 0,5
- E (x) = 0 pour x = -2 et x = 0,5


Donc :


Inéquation


Méthode
: résoudre une inéquation A(x) ≥ B(x).

(ou A(x) > B(x) ou A(x) ≤ B(x) ou A(x) < B(x) ) :

  • 1. On se ramène à une comparaison à zéro et on factorise.
  • 2. On étudie séparément le signe de chaque facteur.
  • 3. On fait un tableau de signes et on donne le résultat sous forme d’intervalle.


Exemple


Résoudre l’inéquation :

Première étape : on se ramène à une comparaison à zéro et on factorise.


Deuxième étape : On étudie séparément le signe de chaque facteur.

On a :  . Ainsi in étudie les facteurs : -8 + 14 et 2x - 3.

-

et comme -8 < 0, on a :

-

et comme 2 > 0, on a :


Troisième étape : On fait un tableau de signes et on donne le résultat sous forme d’intervalle.

On établit ce tableau de signes grâce au deux précédents.

Remarque : 7/4 > 1,5 et 1,5 est une valeur interdite car elle annule le dénominateur 2x - 3.


La solution de l'inéquation est :
 
         Cours complémentaires :

► Equations
► Résolution graphique des
équations et inéquations

► Ordre sur les nombres
► Inéquations - 3ème
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