Inégalité triangulaire

Cours maths 5ème

Inégalité triangulaire :

Ce cours a pour but, dans un premier temps, de mettre  en évidence à travers des activités guidées que le chemin le plus court d’un point à un autre est le segment qui les joint, tout autre trajet étant plus long. L'exposition de ce premier concept permettra de déduire l’inégalité triangulaire et une façon de savoir si 3 longueurs données peuvent être les longueurs des côtés d’un triangle.
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Des chemins différents

 
 
Evaluer  les longueurs :
 
MN et MP + PN

 
MP et MN + NP
 
NP et NM + MP
 
 
 
 
 

Evaluer les longueurs :
 
AC et AB + BC
 
BC et BA+ AC
 
AB et AC + CB
 
 
 
 

On a :
 
 
MN = 4 cm et MP + PN = 5 + 7 = 12 cm
 
MP = 5 cm et MN + NP = 4 + 7 = 11 cm
 
NP = 7 cm et NM + MP = 4 + 5 = 9 cm
 
 
 

 
On a :
 
 
AC = 2 cm et AB + BC = 8 + 6 = 14 cm
 
BC = 6 cm et BA+ AC = 8 + 2 = 10 cm
 
AB = 8 cm et AC + CB = 2 + 6 = 8 cm
 
 
 
 
 

 
 
Distances parcourues : comparaison
 
 
MN = 4 cm et MP + PN = 5 + 7 = 12 cm
alors :    MN <  MP + PN
 
MP = 5 cm et MN + NP = 4 + 7 = 11 cm
alors :     MP <  MN + NP
 
NP = 7 cm et NM + MP = 4 + 5 = 9 cm
alors :    NP <  NM + MP
 
 
 
 

AC = 2 cm et AB + BC = 8 + 6 = 14 cm
alors :    AC <  AB + BC
 
BC = 6 cm et BA+ AC = 8 + 2 = 10 cm
alors :     BC <  BA+ AC
 
AB = 8 cm et AC + CB = 2 + 6 = 8 cm
alors :     AB =  AC + CB
 
 
 
 
 
 
 
 
Distances parcourues : bilan
 
 
 
MN <  MP + PN
 
 
MP <  MN + NP et NP <  NM + MP
 
 
AC <  AB + BC et BC <  BA+ AC
 
 
 

Un segment étant donné, dès que l’on veut aller de l’une de ses extrémités à l’autre en passant par un point qui n’est pas sur le segment, alors le chemin est plus long.

 
 
 
 
 
AB =  AC + CB
 
 
 
 
 
 
Un segment étant donné, si on va de l’une de ses extrémités à l’autre en passant par un point qui est sur le segment, alors la distance parcourue est la même.
 
 
 
 
 
 
Distances entre 3 points : propriétés

 
 
Soient trois points M, N et P
 
 •
Si le point P n’est pas un point du segment [MN], alors :
MN < MP + PN
 
• Si le point P est un point du segment [MN], alors :

MN = MP + PN
 
Si MN = MP + PN -alors le point P est un point du segment [MN].
 
 
 
 
 
 

Inégalité triangulaire

 
 
On peut résumer les deux propriétés précédentes de la façon suivante :
 
Quelques soient les points M, N et P
 

 
 
Cette relation est appelée : inégalité triangulaire.
 
 
 
 
 
 
 

Triangle et inégalité triangulaire

 
 
L’inégalité triangulaire permet d’affirmer que si 3 points M, N et P ne sont pas alignés :
 
 
MN  <  MP   + PN
 
 
MP  <  MN   + NP
 
 
PN  <  PM   + MN
 
 
 
MNP est alors un triangle. -Dans ce triangle, la longueur de chacun des côtés est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.


 
 
 
 
 
3 longueurs et triangle

 
 
Dans un triangle, la longueur de chacun des côtés est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
 
 
En particulier, la longueur du plus grand des 3 côtés est inférieure à la somme des deux autres.
 
Ici, PN  <  PM   + MN
 
 
 

3 longueurs étant données, si la plus grande des 3 est inférieure à la somme des deux autres, alors elles sont les longueurs des 3 côtés d’un triangle.
 
 
 
 
 
Voici 3 segments :




 

Je reporte ces 3 segments de la façon suivante :
 
 
On trace deux cercles ayant pour rayons les deux plus petites longueurs.
 
 
Les deux cercles ne se coupent pas, le triangle n’est pas constructible.
 
 
 
3 longueurs étant données, si la plus grande des 3 est supérieure à la somme des deux autres, alors on ne peut pas construire un triangle ayant ces trois longueurs pour longueurs de ses côtés. 
 
 
 

         Cours complémentaires :

► Construction d'un triangle
► Somme des angles d'un triangle
► Droites particulières d'un triangle
► Sommaire cours maths 5ème

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