Les différentes applications du plan croisées au cours de la scolarité sont passées en revue afin de déterminer si elles satisfont ou non à la définition de transformation.

La notion de similitude plane peut alors être abordée.

La définition de base en est donnée puis s’en suit un théorème d’équivalence, qui permet de façon pratique de déterminer si une transformation du plan est une similitude ou non.

On définit alors au passage la notion de rapport d’une similitude et des théorèmes concernant composition de similitudes et similitude réciproque sont énoncés.

Le cas des similitudes de rapport 1 correspondant aux isométries est considéré.

Le lien entre les notions de triangles semblables et similitudes est ensuite établi.

Ce lien est élargi aux triangles isométriques et isométries.

Les outils pratiques permettant de démontrer que deux triangles sont semblables ou isométriques, vus en classe de seconde, sont rappelés.

Les propriétés des similitudes liées à l’alignement, aux angles et aux figures géométriques, sont étudiées et listées.

L’influence des similitudes sur les angles orientés permet alors de les séparer en deux catégories : similitudes directes et similitudes indirectes.

Le cours se termine par un théorème de discrimination, capital, lié à l’existence de points invariants pour une similitude.

La partie exercice débute par un R.O.C dans lequel on démontre le dernier théorème énoncé. S’en suit une application pratique et calculatoire dans le plan complexe.

Le deuxième exercice s’appuie sur l’écriture complexe d’une transformation. Il faudra montrer à l’aide de cette seule écriture, que la transformation est une similitude, trouver si elle est directe ou indirecte, étudier ses points invariants puis réaliser une composition d’écritures afin d’en savoir un peu plus sur ses éléments caractéristiques.

Le troisième exercice est tiré du BAC. Il est dans l’esprit du précédent mais part d’une écriture différente et ce sont donc des transformations différentes qui sont ici à composer et étudier.

Le quatrième exercice adapté du BAC, commence par un R.O.C dans lequel on démontre l’unicité d’une similitude transformant un triangle en un triangle semblable. Ce théorème est ensuite appliqué à un cas pratique dans le plan complexe.

On démontre dans un premier temps que par une similitude directe, un vecteur et son image forment un angle constant qui sera appelé angle de la similitude.

On s’intéresse ensuite à l’écriture complexe d’une similitude directe.

Il est prouvé qu’une transformation du plan est une similitude directe à la seule condition d’avoir une écriture du type z’=az+b avec a≠0.

Grâce à cette dernière propriété, on démontre qu’il existe une unique similitude directe transformant deux points A et B en A’ et B’, à condition que A soit distinct de B et A’ distinct de B’.

La notion de forme réduite d’une similitude directe est ensuite introduite.

A savoir que toute similitude directe qui n’est pas une translation peut s’écrire comme la composée d’une homothétie et d’une rotation de même centre.

Ce centre étant alors appelé centre de la similitude directe.

Une telle similitude pouvant ainsi être caractérisée par trois éléments : son centre, son rapport et son angle.

Des théorèmes de discrimination concernant les déplacements sont ensuite énoncés ainsi que des théorèmes concernant la composition et la similitude directe réciproque.

Le cours se termine par la définition géométrique des similitudes directes à centre et par un bilan sur les propriétés géométriques des similitudes directes dans leur ensemble.

La partie exercice commence par un exercice sur l’écriture complexe d’une similitude directe : dans un premier temps, l’écriture est donnée et il faut reconnaître la similitude. Dans un second temps, diverses similitudes, dont des composées, sont proposées, et il faut cette fois donner leurs écritures et reconnaître dans quelques cas leurs éléments caractéristiques.

Le deuxième exercice est tiré du BAC. Il faut entre autre trouver l’écriture d’une similitude directe, connaissant des images, et identifier ses éléments caractéristiques. Les autres questions assez variées concernent les notions d’aire, de barycentre, d’ensemble de points et d’ensemble image.

Le troisième exercice aborde un même problème sous les angles géométriques et calculatoires. A un travail d’étude de similitudes, l’une définie géométriquement, l’autre par son écriture, se mêle une étude de lieu géométrique.

Le quatrième exercice joue sur la définition géométrique des similitudes directes à centre et sur leurs propriétés. Un exercice original et assez classique en même temps.

Le dernier exercice fait la part belle au barycentre et au triangle équilatéral.

Dans un premier temps, le point est fait sur les notions de déplacement et d’anti-déplacement.

La réflexion étant l’anti-déplacement le plus utile du point de vue du raisonnement, quelques remarques sont faites à son sujet.

La partie rappel se termine par les théorèmes sur la composition de similitudes et la réciproque d’une similitude.

Vient enfin le premier théorème sur les similitudes indirectes, à savoir que toute similitude indirecte est la composée d’une réflexion et d’une similitude directe.

On comprendra donc qu’il est primordial de maîtriser le précédent module sur les similitudes directes si l’on veut pouvoir aborder les exercices de ce module-ci.

On démontre ensuite qu’une transformation est une similitude indirecte si et seulement si son écriture complexe est d’une forme donnée.

La troisième partie du cours s’intéresse aux points invariants.

Sont rappelés les deux théorèmes du tout premier module sur les similitudes et un nouveau théorème est ajouté : à savoir que tout anti-déplacement possédant au moins un point fixe est une réflexion.

Le cours se termine par un rappel des propriétés géométriques des similitudes directes ou indirectes.

Le premier exercice s’intéresse de près aux anti-déplacements.

Dans la première partie, on apprend à démontrer qu’une similitude dont on connaît l’écriture est une réflexion.

Dans la deuxième partie, on mène l’étude d’un anti-déplacement qui n’est pas une réflexion, dans le but de le décomposer en une réflexion et une similitude directe.

Dans le deuxième exercice, on commence par montrer qu’une écriture complexe donnée est celle d’une réflexion donnée. Inversement, on doit ensuite trouver l’écriture complexe d’une réflexion donnée.

La suite s’intéresse à la composition de ces deux réflexions à la fois du point de vue du raisonnement et du point de vue calculatoire.

Le troisième exercice, très complet, est tiré du BAC.

Il commence par un double R.O.C dans lequel il faut démontrer l’existence et l’unicité de la similitude directe transformant 2 points distincts en deux autres, puis faire la même chose pour une similitude indirecte.

La suite de l’exercice a pour but d’arriver à décomposer une similitude directe dont on connaît l’écriture en une réflexion suivie d’une similitude directe.

Pour cela, il faut arriver à composer les écritures de deux transformations et savoir mener une étude sur les points invariants.

Le quatrième exercice, tiré du BAC, concerne la droite d’Euler.

On y recherche les écritures de similitudes directes et indirectes connaissant des points images puis on démontre certaines propriétés concernant la configuration étudiée. Un exercice court, simple mais assez formateur.

Le dernier exercice enfin, est également tiré des annales.

On y retrouve à peu près toutes les techniques vues dans les exercices précédents. De plus, la dernière partie, originale, s’intéresse à l’étude d’une transformation définie de façon géométrique. L’objectif étant de montrer qu’il s’agit d’une similitude dont on identifiera les éléments caractéristiques.