Géométrie

Extrait de support de cours interactif (ici module "Les nombres complexes") utilisé par le professeur et les élèves dans le cadre de tous les cours par visioconférences :

Nombres complexes : introduction, forme algébrique.

Dans ce module, introduction algébrique et manipulation de nouveaux nombres : les nombres complexes.
Après un bref rappel sur la construction de l’ensemble des nombres réels, un premier nombre non réel est défini : i.
A partir de lui, tout un ensemble de nouveaux nombres est créé : l’ensemble des nombres imaginaires purs, nombres dont les propriétés sont ensuite étudiées.
En ajoutant un nombre réel non nul et un nombre imaginaire non nul, un ensemble plus large, contenant réels et imaginaires purs est introduit : l’ensemble des nombres complexes.
L’écriture de ces nombres sous forme algébrique est alors définie et la caractérisation des réels et imaginaires purs écrits sous cette forme est étudiée.
De nombreux exemples d’opérations sont ensuite détaillés pour apprendre à calculer de façon simple et organisée dans ce nouvel ensemble.
Le cas de la division fait l’objet d’une étude particulière et amène à la création de la notion de conjugué d’un nombre complexe. Les propriétés de cette nouvelle notion sont étudiées et on apprend à caractériser réels et imaginaires purs à l’aide du conjugué.

La partie exercices commence par des exercices très calculatoires afin de rendre l’élève expert dans le maniement des opérations sur les nombres complexes.
Les exercices suivants, tout en étant toujours aussi calculatoires, jouent sur la notion de conjugué, sur les propriétés algébriques de cette notion, sur la manipulation de la forme algébrique, et sur les différentes façons de montrer qu’un nombre est réel ou imaginaire pur.
Le tout dernier exercice est un R.O.C assez classique, souvent posé au BAC.

Il est à noter que ce premier module, dans un souci de clarté et d’efficacité, n’aborde absolument pas l’aspect géométrique des nombres complexes.

Nombres complexes : équations, représentation dans le plan.

Dans ce module, étude de la résolution d’équations dans l’ensemble des complexes et de la représentation des nombres complexes dans le plan.

Après une étude pratique des équations du premier degré dans , et des équations faisant intervenir le nombre conjugué, la partie cours s’intéresse aux équations du second degré à coefficients réels dans .
L’utilisation du discriminant, vue en première, est étendue aux nombres complexes et un théorème, simple, valable sur les réels et les complexes est découvert puis énoncé.
La suite du cours fait le lien entre géométrie plane et nombres complexes de façon progressive et originale.
Le lien est d’abord fait avec les vecteurs, définition de l’affixe d’un vecteur et étude de ses propriétés, puis définition de l’affixe d’un point et lien avec tout ce qui a été vu pour l’affixe d’un vecteur. La notion de plan complexe est alors définie.
Au passage, la configuration de référence liée au conjugué est étudiée et affixe du milieu et du barycentre sont vues.

La partie exercices a pour premier objectif d’étudier tout ce qui est censé être connu des élèves et finalement jamais révisé, c’est à dire la maîtrise de tous les outils de base de la géométrie plane, ici vus sous l’angle des nombres complexes ( points alignés, parallélisme, démonstrations sur la famille des parallélogrammes, symétries axiales etc...)
Ces exercices sont aussi l’occasion de rencontrer les premières applications dans le plan complexe et de travailler sur la notion de points invariants et d’ensembles de points répondants à des contraintes telles que : l’affixe du point image est un réel. C’est à cette occasion qu’une des grosses techniques sur les complexes est étudiée, à savoir la mise sous forme algébrique de l’affixe d’un point image.
Les derniers exercices abordent des équations du second, troisième et même quatrième degré qui donnent l’occasion de réviser certaines techniques et certains théorèmes concernant les polynômes.

Nombres complexes : forme trigonométrique.

Dans ce module, définition du module, de l’argument et de la forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Comme dans le module faisant le lien entre nombres complexes et géométrie plane, les définitions du module et de l’argument sont d’abord introduites en s’appuyant sur les vecteurs. Ceci garantit que l’élève sera capable d’envisager la résolution d’exercices sortant des sentiers battus et capable de réaliser la démonstration des ROCs les plus fins.
La partie cours commence donc par l’étude du module d’un nombre complexe.
La définition en est donnée par l’intermédiaire de la norme du vecteur image, son calcul pratique en est déduit puis ses propriétés étudiées.
Une étude identique est menée sur l’argument d’un nombre complexe.
De nombreux exemples sont étudiés et amènent à la caractérisation des réels et des imaginaires purs à l’aide de l’argument.
Le lien est ensuite fait entre coordonnées polaires d’un point et module et argument de son affixe, cette relation menant à la définition de la forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Unicité de l’écriture sous forme trigonométrique et passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique sont étudiés.
Le tracé de l’image d’un nombre complexe défini sous forme trigonométrique et les configurations de références sont également abordés.

Dans la partie exercices, le premier objectif visé est de savoir passer d’une forme d’écriture à une autre, que ce soit par un raisonnement graphique ou calculatoire et d’être capable de tracer le point image, en jouant sur les différentes écritures.
La manipulation des propriétés du module et de l’argument est également au cœur des différents exercices.
Le ROC de référence est étudié et immédiatement appliqué, ROC concernant l’interprétation du module et de l’argument d’un rapport de nombres complexes.
Deux grands exercices de BAC clôturent enfin cette partie, les deux reposant sur l’étude d’une application définie dans le plan complexe. L’un est très axé sur l’étude de configurations et l’autre est un grand classique axé sur la recherche d’ensembles de points répondant à des contraintes.

Nombres complexes : forme exponentielle.

Dans ce module, définition, manipulation et étude de l’écriture d’un nombre complexe sous forme exponentielle.
Dans un premier temps le cours est consacré à l’étude des nombres complexes de module 1. L’écriture à l’aide de l’exponentielle de ces nombres est introduite et des exemples de référence sont étudiés. Les propriétés liées à l’exponentielle sont exposées et la configuration de référence liant un nombre de module 1, son conjugué et son opposé est étudiée.
L’écriture exponentielle est enfin généralisée à tout nombre complexe de module non nul. L’unicité de cette écriture est prouvée puis quelques exercices de base illustrant le côté pratique de cette écriture sont résolus.
Le cours se termine par les formules d’Euler puis par l’étude de l’équation paramétrique d’un cercle.

La partie exercices commence par un exercice apprenant à jongler avec les trois formes d’écriture d’un nombre complexe. Le deuxième exercice est un classique exercice de linéarisation nécessitant la maîtrise des formules d’Euler, dans les deux sens.
Les trois derniers exercices sont des exercices de BAC axés sur l’étude d’applications définies dans le plan complexe. On y étudie entre autres, l’image de cercles et l’image de points d’affixes parfois compliquées, définies à l’aide d’exponentielles. Ces exercices ont été choisis pour leur originalité source de difficultés.

Nombres complexes : transformations du plan complexe.

Dans ce module sont étudiées certaines transformations du plan complexe, du point de vue de leur écriture complexe et du point de vue de leurs propriétés géométriques.
Dans un premier temps, le cours revient sur la définition d’une transformation dans le plan puis fait le tour de transformations rencontrées dans la scolarité jusqu’en classe de terminale.
Vient ensuite l’étude détaillée des translations, des homothéties et des rotations.
Dans chaque cas l’étude se partage en recherche de l’écriture complexe de la transformation, justification calculatoire et graphique de l’écriture, étude de la réciproque et étude des propriétés géométriques de la transformation.
Dans le cas de la rotation, les configurations de référence que sont le triangle rectangle isocèle et le triangle équilatéral sont étudiées.
Un bilan pratique est enfin dressé pour apprendre à identifier les transformations complexes dont l’écriture est du type : z’=az+b.

La partie exercices commence par des applications fondamentales : recherche de l’écriture de diverses transformations et identification de transformations à partir d’une écriture donnée.
Les trois derniers exercices sont des exercices de BAC très complets mélangeant les transformations à l’ensemble des notions vues dans le chapitre des nombres complexes. Les situations proposées y sont très variées et autant géométriques que calculatoires : tous les types de transformations apprises sont rencontrées ainsi que la plupart des configurations géométriques connues.

Produit scalaire et orthogonalité.

Ce module commence par un rappel concernant la définition de l’orthogonalité de deux vecteurs du plan. Notion pouvant être étendue à l’espace.
On définit ensuite l’orthogonalité entre deux droites puis entre un plan et une droite ; cette première partie se terminant par la définition du plan médiateur d’un segment.

Le point est ensuite fait sur les diverses définitions et multiples propriétés du produit scalaire de deux vecteurs, du plan, ou de l’espace.
On y revoit sur des exemples concrets les diverses techniques de calcul : utilisation du projeté, décomposition en vecteurs colinéaires ou orthogonaux, utilisation du cosinus, déduction à partir des normes et enfin expression analytique.
La propriété comme quoi deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul est également revue et démontrée.

De l’expression analytique on déduit les formules de calcul de la norme d’un vecteur et de calcul de la distance entre deux points.

La troisième partie du cours s’intéresse à l’équation cartésienne d’une droite du plan.
La notion de vecteur normal à une droite du plan est alors introduite et quelques techniques simples permettant de manipuler ces notions sont exposées.
On définit ensuite la notion de distance d’un point à une droite et la formule de calcul est donnée.
Le cours se termine par les équations cartésiennes du cercle et de la sphère.

Le premier exercice commence par un ROC dans lequel on démontre la formule de calcul de la distance d’un point à une droite.
Dans la deuxième partie de cet exercice, on applique ce résultat à la recherche de l’aire d’un triangle.
Dans le deuxième exercice qui a pour support un cube, il s’agit de calculer un grand nombre de produits scalaires. La difficulté des calculs est évidemment croissante et diverses méthodes ( non analytiques ) sont à mettre en œuvre pour réussir.
Dans le troisième exercice, retour dans le plan où l’on va travailler sur les équations cartésiennes de droites et de cercles.
L’objectif étant au final d’arriver à étudier la position relative d’un cercle et d’une famille de droites. On cherchera également entre autre à calculer les coordonnées des points d’intersection du cercle avec certaines de ces droites.

Le quatrième exercice a de nouveau le cube pour support.
De façon vectorielle puis analytique, il s’agit dans un premier temps de montrer qu’une droite est orthogonale à un plan donné.
Viennent ensuite diverses questions faisant intervenir les notions de barycentre, triangle rectangle et sphères. Un exercice riche et très abordable.
La partie exercice se termine par un sujet de BAC assez déroutant ayant pour support un tétraèdre. Très théorique et très peu calculatoire, cet exercice original mélangeant barycentre et orthogonalité se termine par l’utilisation des plans médiateurs pour trouver le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre.

Géométrie dans l’espace : équation(s) de plans, position relative par rapport à un plan.

Ce module commence par les différentes façons de définir un plan de l’espace :
définition à partir de 3 points non alignés, définition à partir d’un point et de deux vecteurs non colinéaires et définition à partir d’un point et d’un vecteur normal.

La deuxième définition nous permet d’introduire la représentation paramétrique d’un plan et la troisième définition nous permet d’introduire la notion d’équation cartésienne d’un plan.
On apprend alors à déterminer l’équation cartésienne d’un plan donné de diverses façons.
La notion de demi-espace de frontière, un plan donné, est expliquée et illustrée.
Nous nous penchons ensuite sur les positions relatives de deux plans : plans parallèles, plans sécants et plans orthogonaux.
Des outils simples et pratiques de détermination de la position relative sont donnés.
Nous faisons ensuite de même pour les positions relatives d’une droite et d’un plan puis d’une sphère et d’un plan.
Entre temps, la formule permettant de calculer la distance d’un point à un plan, utile à l’étude de la position de la sphère par rapport au plan, a été donnée.

Le premier exercice extrêmement varié permet de faire le point sur les diverses techniques vues dans le cours, à savoir, entre autres : trouver l’équation cartésienne d’un plan, savoir si 3 points définissent un plan, montrer qu’un vecteur est normal à un plan, montrer qu’une équation donnée est celle d’un plan donné et savoir étudier les positions relatives de droites et de plans.

Le deuxième exercice a pour objectif le calcul du volume d’un tétraèdre.
Pour y arriver nous devons trouver l’équation d’un plan, calculer la distance du sommet du tétraèdre à ce plan puis calculer l’aire de base en trouvant les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite.
L’exercice se terminant par la recherche du volume d’un deuxième tétraèdre obtenu par intersection avec un plan parallèle au plan de base.

Dans le troisième exercice on s’intéresse à l’intersection d’une sphère et du plan médiateur d’un segment.
Il s’agit de trouver l’équation du plan, de trouver les éléments caractéristiques de la sphère définie par une équation réduite puis d’étudier sa position par rapport au plan. Un second plan parallèle au premier est ensuite introduit, on s’intéresse alors aux demi-espaces qu’il engendre puis on cherche les éléments caractéristiques du cercle d’intersection de ce plan avec la sphère.

Dans l’exercice n°4, tiré du BAC, l’objectif est de calculer la distance d’un point à une droite de l’espace.
Une première méthode consiste à voir la droite comme l’intersection de deux plans perpendiculaires et à utiliser le théorème de Pythagore pour arriver à nos fins. La deuxième méthode consiste à introduire une fonction et à calculer son minimum.
L’exercice n°5, également tiré du BAC, se concentre sur l’étude d’un cube.
Il reprend diverses techniques vues dans les exercices précédents et permet de savoir si on commence à les maîtriser.

Géométrie dans l’espace : représentation(s) de droite, positions relatives.

Ce module commence par les différentes façons de définir une droite de l’espace : définition à partir d’un point et d’un vecteur directeur et définition en tant qu’intersection de deux plans non parallèles.

La première définition nous permet d’introduire la notion de représentation paramétrique d’une droite tandis que la deuxième définition permet d’introduire la représentation d’une droite à l’aide d’un système d’équations cartésiennes.

Nous nous intéressons ensuite à la position relative d’une droite par rapport à un plan. Différentes techniques sont alors données pour montrer qu’une droite est strictement parallèle à un plan, contenue dans un plan ou sécante à un plan.

La position relative de deux droites est ensuite étudiées : droites coplanaires
( sécantes ou parallèles ) et droites non coplanaires. Là encore des outils pratiques sont donnés à travers la résolution d’exemples.

Viennent ensuite deux points clés du module : savoir passer pour une droite, d’une représentation par un système à une représentation paramétrique, ainsi que savoir montrer qu’une droite donnée est l’intersection de deux plans. Trois exemples pratiques de questions de type BAC sont donnés et résolus.

Le cours se termine par l’étude exhaustive de l’intersection de 3 plans. Le but étant de trouver leur intersection, qui peut être l’ensemble vide, une droite ou un point.

Les 5 exercices proposés sont tirés du BAC.
Dans le premier exercice, il s’agit de montrer que 3 points donnés définissent un plan puis de prouver que l’équation de ce plan est bien celle qui nous est proposée.
On démontre ensuite que deux autres plans se coupent selon une droite dont la représentation paramétrique est fournie. On s’intéresse enfin à l’intersection des trois plans rencontrés et l’exercice se termine par une question ouverte dans laquelle il s’agit de trouver la distance d’un point à la droite d’intersection des deux plans.
Le deuxième exercice, s’intéresse à la distance d’un point à une droite, cette droite étant l’intersection de deux plans qu’il faut tout d’abord prouver perpendiculaires.
Dans le troisième exercice, il s’agit de prouver que deux plans sont perpendiculaires puis qu’ils se coupent selon une droite donnée.
On s’intéresse ensuite aux intersections de ces plans avec l’un des axes du repère. On fabrique à partir de ces points un nouveau plan et on étudie l’intersection d’une droite avec ce plan. Etude qui nécessite de trouver une représentation paramétrique de la droite.
Le quatrième exercice commence par un R.O.C dans lequel on redémontre la formule calcul de distance d’un point à un plan.
On applique ensuite cette formule à la recherche du rayon d’une sphère tangente à un plan. L’exercice se termine par le calcul des coordonnées de l’unique point d’intersection de la sphère et du plan.
Le dernier exercice a pour objectif de mener au calcul de la distance d’un point à un plan par deux méthodes.
La première s ‘appuie sur le calcul du volume d’un tétraèdre à l’aide de deux techniques différentes et la deuxième utilise tout simplement la formule de calcul de la distance d’un point à un plan grâce à une équation cartésienne du plan.

Géométrie dans l’espace : barycentre, ensemble de points.

Le cours de ce module est un rappel des définitions et propriétés du barycentre dans le but de les appliquer à la résolution de problèmes liés à l’espace.

C’est pourquoi après avoir revu de façon synthétique et pragmatique les différentes propriétés du barycentre, trois exemples d’exercices types sont donnés et résolus.

La partie exercice est entièrement constituée d’exercices tirés du BAC.
Dans le premier exercice, l’objectif est de trouver la distance entre deux droites non coplanaires fabriquées à l’aide des sommets d’un cube.
Pour ce faire, on définit deux points en tant que barycentres et on cherche à préciser leur position afin que la droite qu’ils forment soit orthogonale aux deux droites étudiées.
L’exercice n° 2 est particulièrement complet.
Dans une première partie on calcule le volume d’un tétraèdre après avoir trouvé, entre autre, une équation de plan, une représentation de droite et les coordonnées d’un projeté orthogonal.
Dans la deuxième partie, on recherche un ensemble de points à l’aide d’un barycentre puis on étudie l’intersection de cet ensemble avec un plan.
Le troisième exercice est très axé sur la définition et les propriétés du barycentre.
En prenant comme base un tétraèdre, on étudie la localisation d’une famille de barycentres, passant de cas particuliers au cas général.
Dans le quatrième exercice, on commence par chercher les coordonnées d’un barycentre défini comme l’intersection d’un plan et d’une droite orthogonale à ce plan. On cherche ensuite à déterminer les éléments caractéristiques de deux ensembles de points définis à l’aide de ce barycentre. L’exercice se termine par l’étude de l’intersection de ces deux ensembles.
Le dernier exercice est très original et uniquement géométrique.
Il s’agit tout d’abord de montrer qu’une droite est orthogonale à un plan puis de trouver la distance d’un point à ce plan en calculant le volume d’un tétraèdre de deux façons. On s’intéresse ensuite à la position de points et à la nature d’ensembles de points, définis à l’aide du barycentre.