.gif)
.gif)
.gif)
Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions : Généralités sur les fonctions |
| ► Sommaire cours maths 1ère S A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |
Les fonctions
Le saviez-vous ???
On se demande souvent « Quel temps va-t-il faire demain ? »,
« Est-ce qu’il va y avoir de la neige ou du soleil ?... ». Afin de répondre au mieux à ces questions les scientifiques utilisent des fonctions mathématiques. Cela permet d’étudier les variations de température, les déplacements de masses nuageuses et ainsi d’anticiper la météo !!!
Quelques points importants à retenir :
.jpg){kind=small}
On définit une fonction f de D dans
en associant à chaque nombre réel x de D un nombre réel et un seul noté f(x).
On note
.jpg)
qui à x associe f(x) ».On dit que f(x) est l’image de x par f et que x est un antécédent de f(x).
Attention !
Il ne faut pas confondre la fonction f et le nombre réel f(x) qui désigne l’image de x par f .
Exemple
Soit f la fonction définie par :
L’image f(2) de 2 par la fonction f vaut :
Ensemble de définition
►L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble de tous les
nombres
réels qui possèdent une image par f.
On le note Df
Exemple 1
On a :
car on ne peut pas diviser par 0.
Exemple 2
Pour que la fonction f soit définie, il faut que 3-x soit positif ou nul car la racine carrée d’un nombre n’est définie que si le nombre est positif ou nul.
d’où
Représentation graphique
→La représentation graphique d’une fonction ou courbe représentative
Soit f une fonction et soit Df son ensemble de définition.
Dans un repère, l’ensemble des points M de coordonnées (x, f(x)) où x décrit Df est appelé courbe représentative ou représentation graphique de la fonction f.
On la note Cf et on dit que Cf a pour équation y=f(x).
.jpg)
Sens de variation d’une fonction
Quelques points importants à retenir :
→ Le sens de variation d’une fonction f
Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
Plusieurs possibilités sont envisageables sur cet intervalle :
- soit f est croissante,
- soit f est décroissante,
- soit f est strictement croissante,
- soit f est strictement décroissante.
Nous allons voir maintenant comment étudier ce sens de variation.
Fonctions croissantes
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de .
On dit que :
- f est croissante sur I si pour tous x et x’ dans I on a :
.jpg){kind=small}
- f est strictement croissante sur I si pour tous x et x’ dans I on a :
.jpg){kind=small}
Si une fonction est croissante ou strictement croissante, les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents.
On dit que f conserve l’ordre.
Fonctions décroissantes
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de .
On dit que :
- f est décroissante sur I si pour tous x et x’ dans I on a :
- f est strictement décroissante sur I si pour tous x et x’ dans I on a :
.jpg)
Si une fonction est décroissante ou strictement décroissante, les images sont rangées dans l’ordre inverse des antécédents.
On dit que f inverse l’ordre.
Fonctions constantes
Une fonction f est constante sur un intervalle I s’il existe un nombre réel c tel que pour tout x dans I, on ait :
.jpg){kind=small}
Exemple 1
La fonction .jpg)
est une fonction constante sur .
.jpg)
Fonctions monotones
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de .
On dit que :
- la fonction f est monotone sur I si f est croissante sur I ou décroissante sur I.
- la fonction f est strictement monotone sur I si f est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I.
Exemple 1
La fonction .jpg){kind=small}
est décroissante sur donc c’est une fonction monotone sur .
.jpg)
Exemple 2
Etudions la monotonie de la fonction
.jpg){kind=small}
La fonction g est décroissante sur .jpg){kind=small}
et croissante sur .jpg){kind=small}
.
Elle n’est donc pas monotone sur .
Par contre elle est monotone sur chacun des deux intervalles et .
La première ligne du tableau donne les intervalles de l’ensemble de définition de la fonction. On y fait figurer en particulier les valeurs de x au passage desquelles le sens de variation de f change.
La deuxième ligne représente le sens de variation de la fonction :
- une flèche 
correspond à une croissance stricte,
- une flèche 
correspond à une décroissance stricte,
- une flèche 
correspond à un intervalle sur lequel la fonction est constante,
le symbole 
signifie que la fonction n’est pas définie pour la valeur correspondante.
Quelques points importants à retenir :
Une flèche oblique dans le tableau de variation de f indique par convention :
- La stricte monotonie de f sur l’intervalle correspondant : croissance stricte (si la flèche est vers le haut) ou décroissance stricte (si la flèche est vers le bas).
- La continuité de la courbe de f, sans rupture sur cet intervalle. Exemple Soit f la fonction donnée par sa représentation graphique :
Son tableau de variation est :
Extrema
→ Extrema d’une fonction
- Le maximum M d’une fonction f sur un intervalle I est la plus grande valeur de f(x) pour x variant dans I.
- Le minimum m d’une fonction f sur un intervalle I est la plus petite valeur
de f(x) pour x variant dans I.
- Un extremum est un maximum ou un minimum.
Le maximum de f sur l’intervalle [-4, 7] vaut 3.
Il est atteint pour x = - 2.
Le minimum de f sur l’intervalle [-4, 7] vaut -3.
Il est atteint pour x = 5.
Cours complémentaires : |
| ► Sommaire cours maths 1ère S A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |
.jpg)