.gif)
.gif)
.gif)
Fractions irréductibles
Cours maths 3ème
Fractions irréductibles : L’objectif de ce cours est de définir deux nombres premiers entre eux, une fraction irréductible et d’utiliser la notion de PGCD et les algorithmes de recherche du PGCD de deux nombres pour manipuler les notions ci-dessus. |
| ► Sommaire cours maths 3ème A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |
Plus grand diviseur commun
Définition :
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d’eux.
Exemple :
36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
Définition :
Si a et b désignent deux nombres entiers, on note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs positifs à a et b.
Exemple : Rechercher le PGCD de 24 et 36
La liste des diviseurs de 24 est :
.png){kind=small}
La liste des diviseurs de 36 est :
24 et 36 ont 6 diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12
Le plus grand d’entre eux est 12 donc PGCD (24 ; 36) = 12
- 1) On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.
- 2) On effectue la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusqu’à ce que le reste de la division soit égal à zéro.
- 3) Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes.
Algorithme d’Euclide : exemple
Exemple : Déterminer PGCD (1 326 ; 546).
.png)
Le dernier reste non nul est 78
Donc PGCD ( 1 326 ; 546) = 78.
Remarque : On peut schématiser l’algorithme ainsi :
1 326 = 2 × 546 + 234
546 = 2 × 234 + 78
234 = 3 × 78 + 0
Nombres premiers entre eux : définition
Définition :
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.
Exemple 1 : 12 et 35 sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12.
Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 et 35.
Le seul diviseur commun à 12 et 35 est 1
Donc 12 et 35 sont premiers entre eux.
Exemple 2 : 405 et 637 sont-ils premiers entre eux ?
La recherche des diviseurs va être longue et fastidieuse.
Nombres premiers entre eux : exemple
| Si le PGCD de deux nombres est égal à 1, alors les deux nombres sont premiers entre eux. |
Exemple 2 : 405 et 634 sont-ils premiers entre eux ?
.png)
PGCD ( 405 ; 634) = 1 donc 405 et 634 sont premiers entre eux.
Fractions irréductibles - définition
Définition :
Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible.
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Exemple 1 :
12 et 35 sont deux nombres premiers entre eux.
Donc
.png){kind=small}
et .png){kind=small}
sont irréductibles.Exemple 2 :
12 et 8 ne sont pas deux nombres premiers entre eux.
Donc
.png){kind=small}
et .png){kind=small}
ne sont pas irréductibles.Fractions irréductibles - propriété
| Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, alors on obtient une fraction irréductible. |
Exemple 2 : Simplifier
.png){kind=small}
.png)
PGCD ( 12 ; 8) = 4
Donc pour obtenir une fraction irréductible, il faut simplifier par 4.
.png){kind=small}
Cours complémentaires : |
| ► Sommaire cours maths 3ème A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |
.jpg)