Fractions irréductibles

Cours maths 3ème

Fractions irréductibles :

L'objectif de ce cours est de définir deux nombres premiers entre eux, une fraction irréductible et d’utiliser la notion de PGCD et les algorithmes de recherche du PGCD de deux nombres pour manipuler les notions ci-dessus.
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Plus grand diviseur commun



Définition :
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d’eux.

Exemple :
36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2.  Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.

Définition :
Si a et b désignent deux nombres entiers, on note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs positifs à a et b.

Exemple :  Rechercher le PGCD de 24 et 36

La liste des diviseurs de 24 est : 


La liste des diviseurs de 36 est :

24 et 36 ont 6 diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12

Le plus grand d’entre eux est 12 donc PGCD (24 ; 36) = 12

Algorithme d'Euclide : méthode

  • 1) On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.
  • 2) On effectue la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusqu’à ce que le reste de la division soit égal à zéro.
  • 3) Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes.


Algorithme d'Euclide : exemple


Exemple : Déterminer PGCD (1 326 ; 546).



Le dernier reste non nul est 78
Donc PGCD ( 1 326 ; 546) = 78.

Remarque
 : On peut schématiser l’algorithme ainsi :
1 326 = 2 × 546 + 234
546 = 2 × 234 + 78
234 = 3 × 78 + 0



Nombres premiers entre eux : définition



Définition :
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1.

Exemple 1 : 12 et 35 sont-ils premiers entre eux ?

Les diviseurs de 12 sont : 1  ;  2  ;  3  ;  4  ;  6  et  12.
Les diviseurs de 35 sont : 1  ;  5  ;  7  et  35.
Le seul diviseur commun à 12 et 35 est 1
Donc 12 et 35 sont premiers entre eux.

Exemple 2 : 405 et 637 sont-ils premiers entre eux ?

La recherche des diviseurs va être longue et fastidieuse.


Nombres premiers entre eux : exemple


Si le PGCD de deux nombres est égal à 1, alors les deux nombres sont premiers entre eux.

Exemple 2 : 405 et 634 sont-ils premiers entre eux ?



PGCD ( 405 ; 634) = 1 donc 405 et 634 sont premiers entre eux.


Fractions irréductibles - définition


Définition :

Une fraction irréductible est une fraction simplifiée le plus possible.

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemple 1 :

12 et 35 sont deux nombres premiers entre eux.

Donc  et  sont irréductibles.

Exemple 2 :

12 et 8 ne sont pas deux nombres premiers entre eux.

Donc  et  ne sont pas irréductibles.


Fractions irréductibles - propriété



Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, alors on obtient une fraction irréductible.

Exemple 2
  : Simplifier



PGCD ( 12 ; 8) = 4
Donc pour obtenir une fraction irréductible, il faut simplifier par 4.




         Cours complémentaires :

► Opérations sur les
écritures fractionnaires

► Plus grand commun diviseur
► Sommaire cours maths 3ème

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