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Fonctions trigonométriques
Cours maths 1ère S
Fonctions trigonométriques : Fonctions trigonométriques |
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Lignes trigonométriques
- Quelques points importants à retenir :
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Soit
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un repère orthonormé du plan et soit C le cercle trigonométrique de centre O. Soit M un point du cercle trigonométrique et soit x un nombre réel tel que x soit une mesure en radians de l’angle
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. Définitions :
Dans le repère
, l’abscisse du point M est appelée le consinus de x. On le note cos x.L’ordonnée du point M est appelée le sinus de x. On le note sin x.
La tangente de x, pour
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est le rapport .png){kind=small}
. On la note tan x..png)
Propriété :Pour tout nombre réel x, on a
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et
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Propriété fondamentale
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Soit C le projeté orthogonal de M sur la droite (OI) et soit S le projeté orthogonal de M sur la droite (OJ).
Propriété :
En se plaçant dans le triangle OMC et en utilisant le théorème de Pythagore on obtient :
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On en déduit, pour tout
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avec .png){kind=small}
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Valeurs remarquables
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Etude de la fonction cosinus
Notons f(x) = cos x.
- La fonction f est définie sur
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.
- On a, pour tout
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,
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La fonction f est donc périodique de période
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On peut donc restraindre l’étude de f à l’intervalle
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.- On a, pour tout
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et
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La fonction f est donc paire et sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
On peut donc restreindre l’étude de f à l’intervalle
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.- L’observation du cervle trogonométrique nous permet de dresser le tableau de variation de la fonction f :
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Dérivabilité :
La fonction f est dérivable sur
et on a, pour tout ,f’(x) = -sin x
Démonstration
Limite :
On a
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Démonstration
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Courbe représentative de la fonction cosinus
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Etude de la fonction sinus
Notons g(x) = sin x.
- La fonction g est définie sur .
- On a, pour tout ,
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La fonction g est donc périodique de période
.On peut donc restreindre l’étude de g à l’intervalle
.On a, pour tout
et.png){kind=small}
La fonction g est donc impaire et sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine du repère.
On peut donc restreindre l’étude de g à l’intervalle
.L’observation du cercle trigonométrique nous permet de dresser le tableau de variation de la fonction g :
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Dérivabilité :
La fonction g est dérivable sur
et on a, pour tout, g’(x) = cos x
Remarque :
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Limite :
On a
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Démonstration
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Courbe représentative de la fonction sinus
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Remarque
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Les deux courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus sont décalées de
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Interprétation géométrique de la tangente
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Démonstration
Soit C le projeté orthogonal de M sur la droite (OI) et soit T l’intersection de (OM) et de la tangente en I au cercle.
Alors, d’après le théorème de Thalès, comme les deux droites (MC) et (TI) sont parallèles, on a
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Etude de la fonction tangente
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Périodicité :
Propriété : La fonction tangente est périodique de période pi.
Démonstration :
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On peut donc restreindre l’étude de h à l’intervalle
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Courbe représentative de la fonction tangente
On en déduit la courbe représentative de fonction h :
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Cours complémentaires : |
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