Fonctions polynomes

 
Fonction polynôme
 

Définition
 
 On appelle fonction polynôme toute fonction f définie sur 
pour laquelle il existe un entier naturel n et des nombres
réels a0, a1, … , an avec an ≠ 0 tels que :

 f(x) = a0 + a1 x + a2 x² + … + xn

Le nombre entier naturel n s’appelle le degré de f.

Les nombres réels a0, a1, … , an s’appellent les coefficients
de f.
 

Exemple 1

La fonction f définie par f(x) = 2x – 7 est une fonction polynôme de degré 1.
Les fonctions affines sont des fonctions polynômes de degré 1.

Exemple 2

 La fonction g définie par

Exemple 3
 
La fonction h définie par h(x) = – 3 est une fonction constante.-
Une fonction constante est une fonction polynôme de degré 0 car
donc

La fonction  n’est pas une fonction polynôme.
Une façon simple de s’en convaincre est de constater qu’elle n’est pas définie sur  puisque le nombre réel 0 n’a pas d’image.

On a pourtant :

De même les fonctions

ne sont pas des fonctions polynômes.

 
• Une fonction  où a est un nombre réel et k est un nombre entier 

 naturel s’appelle une fonction monôme.-

• Une fonction polynôme est la somme de fonctions monômes.-

• Par abus de langage, on parle souvent de polynôme au lieu de fonction

 polynôme.

• Un polynôme de degré deux est aussi appelé trinôme du second degré.-ax² +

 bx + c est un trinôme du second degré.

Propriété

La somme, la différence et le produit de deux fonctions polynômes est une fonction polynôme.

Le degré du produit de deux polynômes est la somme des degrés de ces deux polynômes.

Soient f et g les deux fonctions polynômes définies par :

et

Propriété

Deux fonctions polynômes non nulles sont égales si et seulement si elles ont le même degré et les coefficients de leurs monômes de même degré sont égaux.

Démontrons cette propriété dans le cas d’une fonction de degré inférieur ou égal à 2.
Soient f et g deux fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2.

On peut écrire :
 f(x) = ax² + bx + c
et g(x) = a’x2 + b’x + c’-où a, b, c, a’, b’ et c’ sont des nombres réels.

Commençons par vérifier que si les deux fonctions f et g ont le même degré et les mêmes coefficients, alors elles sont égales.
Si a = a’, b = b’, c = c’, alors, pour tout nombre réel x, on a :
f(x) = ax² + bx + c = a’x2 + b’x + c’ = g(x)
donc f = g .


Réciproquement, supposons que f et g sont égales, c’est-à-dire que pour tout nombre réel x on a :
  f(x) = g(x).

Alors on a en particulier :
 f(0) = g(0) donc c = c’
 f(1) = g(1) donc a + b + c = a’ + b’ + c’
 f(–1) = g(–1) donc a – b + c = a’ – b’ + c’

Exemple 1

Soient P et Q les deux fonctions polynômes définies par :

et

Essayons de comparer ces deux fonctions en prenant leurs valeurs en quelques points.
On a :
 P(0) = Q(0)=1   P(– 1) = Q(– 1)=2
 P(1) = Q(1)=2   P(2) = Q(2)=17 .

Exemple 2

Soient R et S les deux fonctions polynômes définies par :

et

Comparons quelques valeurs prises par ces deux fonctions. On a :
 R(0) = S(0) = 0
 R(1) = S(1) = 0
 R(– 1) = S(– 1) = 0
 R(3) = S(3) = 24
Ces deux fonctions semblent égales alors qu’elles ne le sont pas d’après le critère puisqu’elles n’ont pas le même degré.

Définition

On appelle racine réelle d’une fonction polynôme P tout nombre réel x0 tel que :
 P(x0) = 0 .

Exemple

Reprenons la fonction polynôme R définie par :

Nous avons vu que :
 R(0) = R(1) = R(– 1) = 0
donc 0, 1 et – 1 sont des racines réelles du polynôme R.

Théorème

Si une fonction polynôme P a une racine réelle x0, alors on peut factoriser P(x) par x – x0. On peut écrire :
 P(x) = (x – x0)Q(x)
où Q est une fonction polynôme de degré n – 1 si n est le degré de P.

Exemple
Reprenons la fonction polynôme R définie par :