Fonctions linéaires

Cours maths 3ème

Fonctions linéaires :

Ce cours a pour objectif de faire manipuler le vocabulaire relatif aux fonctions et de travailler sur la détermination et la représentation graphique d’une fonction linéaire.
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Activité : Proportionnalité
 
 
Mr Martin désire partir en Floride pour ses vacances. Avec sa famille, il se rend à la banque pour échanger leurs euros en dollars.
Ce tableau résume leurs diverses conversions :
 
 
Démontrer que ce tableau est un tableau de proportionnalité.
Quel est le coefficient de proportionnalité ?
Pour vérifier qu’un tableau de nombres traduit une situation de proportionnalité, il faut montrer que tous les quotients obtenus en divisant chacun des nombres de l’une des lignes par le nombre correspondant de l’autre ligne sont tous identiques.
 
 
Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité. Le coefficient est 1,3.
 
 
 

Activité : Notion de fonction linéaire

 
 
On exprime la somme en dollars en multipliant la somme en euros par le nombre 1,3
 
Plus généralement, si x désigne une somme en euros, pour exprimer en fonction de
x cette somme en dollars, on applique le programme de calcul suivant :
Je multiplie le nombre x par 1,3.
On peut résumer la situation par le schéma :
Ce procédé s’appelle la fonction linéaire de coefficient 1,3.
Il est associé à une situation de proportionnalité de coefficient 1,3.
Si on appelle f la fonction, on note :
 
Activité : résumé
 
 
Ce procédé qui a tout nombre
x associe le nombre 1,3 x définit une fonction linéaire f.
On note :         f : x → 1,3 x
Le nombre 1,3 x est appelé « l’image de x par la fonction f ».
On note f(
x) cette image, on lit « f de x » et on écrit f(x) = 1,3 x.
La fonction linéaire f traduit une situation de proportionnalité et le nombre 1,3 est appelé le coefficient de f.
 
 
 

Fonctions linéaires : définitions et notations

 
 
Soit a un nombre fixé.
En associant à chaque nombre « x » un nombre « ax » appelé image de x, on définit une fonction linéaire de coefficient a.
On notera cette fonction f : x ax
L’image de x sera notée f(x).
 
 
Remarque :
 

La fonction linéaire f traduit une situation de proportionnalité, et le nombre a est appelé le coefficient de proportionnalité.
 
 
 

Exemple de fonctions linéaires

 
 
Exemple :
 
Soit f la fonction linéaire de coefficient 2. On la note f :
x 2 x
Alors l’image de 5 est f(5) = 2 × 5 = 10.
L’image de (-3) est f(- 3) = 2 × (- 3) = - 6.
Le nombre qui a pour image 8 par f est
x = 8 ÷ 2 = 4
 
Remarque :
 

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :
 
C’est un tableau de proportionnalité et
le coefficient de proportionnalité est 2.

 
 
 
Exemple :
 
Soit g la fonction linéaire telle que g(7) = - 21.
Quel est le coefficient de g ?
 

g : x a x
On veut déterminer a. g(7) = - 21
Donc si
x  = 7, alors ax  = - 21
7a = - 21 a = -21 ÷ 7 = -3
Le coefficient de g est (-3) : g :
x -3 x
 
 
 

Représentation graphique d'une fonction linéaire

 
 
La représentation graphique de la fonction f est l’ensemble de tous les points M
de coordonnées (
x ; f(x) ) obtenus en prenant toutes les valeurs possibles de x.
 
 
 
Activité : Observation
 
 
f est la fonction linéaire : f : x 2 x
 
1) Calculer f(0) ; f(1) ; f(2) ; f(3) ; f(-1) ; f(-2).
 
f(0) = 2 × 0 = 0
Le point (0 ; f(0) ) est  l'origine  du repère.
f(1) = 2 × 1 = 2
f(2) = 2 × 2 = 4
f(3) = 2 × 3 = 6

f(-1) = 2 × (-1) = -2
f(-2) = 2 × (-2) = -4

 
2) Dans le repère ci - contre, placer les points :
 
 

A (1 ; f(1) )  ;
B (2 ; f(2) )  ;
C (3 ; f(3) )  ;
D(-1 ; f(-1) ) ;
E (-2 ; f(-2) ).

 
 
3) Qu’observe-t-on ?
 
 
Les points E, D, O, A, B, et C semblent alignés.
 
 
 
 
 
 
Activité : conclusion
 
 
La représentation graphique d’une fonction linéaire f : x a x est la droite d’équation y = ax.
Elle passe par l’origine du repère et par le point (1 ; a).
 
 
 

Cours : représentation graphique d'une fonction linéaire

 
 
Propriété :

 
La représentation graphique d’une fonction linéaire f : x → ax est une droite passant par l’origine et d’équation y = ax.
 
 
Remarque :
 
Pour la construire, il suffit de connaître un point (abscisse x et son image f(x) )
 
 
Définition :
 
a est le coefficient directeur de la droite d.
 
 
Propriété réciproque :
 
Toute droite passant par l’origine est la représentation graphique d’une fonction linéaire.
 
 
 
Cours : exemple

 
 
Exemple :
 
Soit g la fonction linéaire de coefficient 3.
On la note g : x → 3 x.
 
Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine.
 
g(0) = 0  et g(1) = 1×3 = 3
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
         Cours complémentaires :

► Notion de fonctions
► Fonctions affines - introduction
► Sommaire cours maths 3ème

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