Fonctions - Limites

 
Notre planète terre
 
 

 
 
Les scientifiques ont montré que notre planète se réchauffait.
Ce phénomène est appelé le réchauffement climatique. Afin de connaître les conséquences de ce réchauffement sur notre planète terre, comme par exemple la fonte des glaciers, les mathématiciens construisent des modèles mathématiques qui modélisent l’évolution de la fonte des glaciers.

Ainsi, en étudiant le comportement asymptotique ou les limites de leur modèle mathématique (fonction), ils essaient de prédire ce qu’il va se passer…
 

Notion de limite à l’infini
 
Lorsque l’on étudie une fonction, il peut être intéressant de connaître son comportement pour des grandes valeurs de la variable x.

Par exemple, si cette fonction modélise l’évolution de la fonte des glaciers dans temps (la variable étant alors le temps t), la connaissance du comportement de la fonction lorsque t devient très grand permet aux scientifiques de prédire l’avenir.
 
                 
 
 

Exemple
 

 

 
 
On constate que les valeurs de f(x) sont de plus en plus grandes, sont aussi grandes que voulu.
Il suffit pour cela de prendre x suffisamment grand.

 
Limite  en 

si,pour tout nombre réel positif M, il existe un nombre réel A tel que

 

Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, la courbe  finit par se situer au dessus de n’importe droite horizontale.

f(x)= x²

On a 

Pour avoir f(x) >1000 000, il suffit de prendre x >1000.

Plus généralement, si on veut f(x) > M, où M est un nombre réel positif, il suffit de prendre

 

On a 

Limite  en

[ où a est un nombre réel.
Si, pour x suffisamment grand, les images f(x) sont aussi proches d’un réel que l’on veut, on dit que f(x) tend vers 

si, pour tout nombre réel >0, il existe un nombre réel A tel que

Les valeurs de f(x) peuvent être aussi grandes que l’on veut.
Il suffit pour cela de prendre x suffisamment proche de zéro ().

Limite en un réel a


Définition

Soit a un nombre réel et soit f une fonction définie sur  ou sur (ou sur la réunion des deux) où  est un nombre réel strictement positif.
On dit que f(x) tend vers quand x tend vers a si f(x) peut être rendu aussi grand que l’on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a.
On dit aussi que f admet pour limite lorsque x tend vers a.

Notation

  On a alors  :

 


Interprétation graphique

f(x) tend vers lorsque x tend vers a si,
pour tout nombre réel positif M, il existe un nombre réel strictement
positif tel que

Limite  en un réel a

On définit de la même façon une limite en un nombre réel a :

Définition

Soit a un nombre réel et soit f une fonction définie sur
ou sur (ou sur la réunion des deux) où  est un nombre réel strictement positif.
On dit que f(x) tend vers quand x tend vers a si f(x) peut être rendu aussi grand que l’on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a.
On dit aussi que f admet pour limite lorsque x tend vers a.

Notation

 On note alors :
 


Limite à droite et limite à gauche

Il peut arriver que le comportement de f(x) ne soit pas le même à droite et à gauche de a.
Dans ce cas on regarde séparément ce qui se passe à droite et à gauche de a.

Exemple

Limites des fonctions de référence

Opérations sur les limites

Limite d’une somme

Limite d’un produit

Exemple

Limite de l’inverse

Limite d’un quotient

Dans le cas où la limite de g vaut 0, il faut regarder le signe de f(x) et celui de g(x).