Fonctions - Dérivabilité

Cours maths Terminale S

Fonctions - Dérivabilité :
Dans ce module, retour sur la notion de nombre dérivé vue en première.
La classe de terminale s’attardant plus longuement sur le problème de la dérivabilité d’une fonction en un point, les différents cas possibles sont étudiés et à cette étude est couplée celle de la tangente en un point, aspect graphique de la question.
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1/ Nombre dérivé, dérivabilité, tangente

  * Soit f fonction réelle définie sur un intervalle I et x0 élément de I.
Et soit  xf sa courbe représentative dans une repère orthonormé.
Soit h un réel non nul
.
Nombre dérivé, dérivabilité, tangente


pour trouver le coefficient directeur plus rapidement,on peut évidemment utiliser la formule du rapport.


* Soit f fonction réelle définie sur un intervalle I et x0 élément de I.
Et soit  xf sa courbe représentative dans une repère orthonormé.
Soit h un réel non nul.


Nombre dérivé, dérivabilité, tangente  Dh  a pour coefficient directeur :
 
Quand h tend vers 0 :
tend à devenir la tangente à la courbe en x0 Nombre dérivé, dérivabilité, tangente
Et Tx0 a donc pour coefficient directeur :   à condition que cette limite soit finie.
Nombre dérivé, dérivabilité, tangente


D’où l’étude de différents cas :

Cas n° 1 : cette limite est un nombre fini 
 
cette limite est un nombre fini
  

  

On dit alors que la fonction f est dérivable en x0

est appelé nombre dérivé en x0
noté : = f ' (x0)
Et Tx0 a donc pour coefficient directeur : f ' (x0)
  
 

Cas n° 2 : la limite n’est pas un nombre fini
On dit alors que la fonction f n’est pas dérivable en x0 la fonction f n’est pas dérivable en x0

Deux cas peuvent se présenter :

Cas n° 2.1 : la limite est infinie
la limite est infinie
Prenons l’exemple de :

   
Plus h se rapproche de 0, et plus le coefficient directeur de devient un grand nombre positif.
tend alors à devenir verticale.
 
La courbe admet donc une tangente verticale en x0
D’où l’allure de la courbe au voisinage de
x0 La courbe admet une tangente verticale en x0




Cas n° 2.2 : la limite n’est ni finie ni infinie
Premier exemple, si : la limite n’est ni finie ni infinie
 
la limite en 0 de    n’existe pas.
  
On ne peut alors parler ni de nombre dérivé, ni de tangente en      .

 
Deuxième exemple : soit    et x0 = 0
la limite n’est ni finie ni infinieAlors :
D'où
et
Les limites à droite et à gauche en 0 du rapport n’étant pas égales, on ne peut parler de limite en 0.
La fonction valeur absolue n’est donc pas dérivable en 0.

Par contre :
la courbe admet deux demi-tangentes en 0.
Une demi-tangente à gauche de coefficient directeur -1.
Une demi-tangente à droite de coefficient directeur 1.


Remarque :
La limite étudiée pour savoir si f est dérivable en x0 est parfois exprimée de façon différente.
Nous avons travaillé avec :

Mais, si on pose : X = x0 +h   alors :
Et :
Donc, par composition de limite :

Il arrivera donc dans certains énoncés
que l’on étudie pour savoir si f est dérivable en x0
Et inversement, sachant que f est dérivable en un point, on pourra récupérer
un résultat de limite en ce point.

2/ Tangente : tracé, équation, lecture du nombre dérivé

Tracé de la tangente

Remarque : beaucoup d’élèves confondent les notions de tangente et d’asymptote.
Or, alors que l’asymptote est une droite sur laquelle la courbe tend à venir « se coller » sans l’atteindre, la tangente, elle, est une droite qui possède au moins un point commun avec la courbe.

Ce point commun est appelé point de contact ou point de tangence.

S’il s’agit de la tangente en x0, ce point est le point de la courbe d’abscisse
x0

Tracé de la tangente  
Prenons l’exemple de dérivable en 2, telle que : f (2) = 3  et  f ' (2) = -3
  
La tangente en 2, T2 a alors pour coefficient directeur -3.

Et pour vecteur directeur :  (1 ; -3)
  
Du point de vue du tracé, tangente et courbe vont localement se confondre au voisinage de 2.


Cas particulier :
Si le nombre dérivé est nul, la tangente, dont le coefficient directeur est alors nul, est horizontale.

Remarque :
par convention, pour marquer le côté local de la tangente, on la représente par un segment fermé par deux flèches


Equation de la tangente
: exemple

Conservons l’exemple de f dérivable en 2, telle que :
f (2) = 3  et  f ' (2) = -3
La tangente en 2, T2 est une droite qui n’est pas verticale donc elle admet
une équation réduite du type : y = ax + b
 Equation de la tangente Et  a = f ' (2) = -3, donc T2 a pour équation : y = -3x + b
Comme pour toute recherche d’équation de droite, il faut maintenant utiliser un point de la droite afin de trouver b.
Le seul point connu est le point de tangence A, d’abscisse 2.

A
Xf   Donc A a pour coordonnées : ( 2 ; f (2) )  Soit (2 ; 3)


Et
A T2 donc ses coordonnées vérifient l’équation de T2

D’où : yA = -3xA + b ⇔ 3 = -3 x 2 + b
⇔ b = 9
Et donc,
T2  y = -3x + 9

Remarque :
Au voisinage de 2, courbe et droite se confondent d’où : f (x) ≈ -3x + 9
f étant alors identifiée à une fonction affine, on dit que l’on réalise localement une approximation affine de
f.

Equation de la tangente : cas général

Par ce même raisonnement, on peut trouver l’équation de la tangente dans le cas général :
Equation réduite de la tangente en x0, Tx0 : y = f ' (x0)(x - x0) + f (x0)
Mais attention aux cas de dérives concernant cette formule,
et toute formule en général.

A force d’appliquer cette formule sans réfléchir,

beaucoup d’élèves en perdent son sens et ne savent même plus
que la tangente a pour coefficient directeur le nombre dérivé.

Ce qui peut être très handicapant en particulier

dans les exercices de lecture graphique du nombre dérivé.

Il est donc conseillé de chercher l’équation de la tangente

comme vu dans l’exemple et de tout de même connaître cette formule
parfois utile dans des exercices compliqués, étudiant un cas général.

Conseil :
Cette formule étant souvent source d’erreur au niveau des signes,
il faut s’assurer que l’équation  de droite que l’on propose vérifie deux choses :
  1. que A(x0 ; f (x0)) appartient à la droite, en vérifiant que : y = f (x0) pour x = x0
  2. qu’en développant l’équation, le coefficient sur les x est bien :  f ' (x0)

Equation de la tangente : cas particuliers
Si le nombre dérivé est nul, alors la tangente est horizontale
et son équation est tout simplement : y = f (x0)
 Equation de la tangente

Si la tangente est verticale, son équation est :
x = x0

Lecture du nombre dérivé

Si la tangente en x0 est verticale, le nombre dérivé en
x0 n’existe pas.
Dans le cas contraire, le nombre dérivé en
x0 est égal au coefficient directeur de la tangente en x0

* Méthode de lecture du coefficient directeur
En général, les tangentes dont on a besoin sont déjà tracées sur le graphique.
Dans le cas contraire, les tracer au mieux en essayant localement
de ne couper la courbe qu’au point de contact d’abscisse x0
Méthode de lecture du coefficient directeur f '(1) La tangente en 1 est verticale, f '(1) n’existe pas.

f '(2) La tangente en 1 est horizontale,son coefficient directeur est donc nul, f '(2) = 0

f '(7) (-3 ; 2) est un vecteur directeur de T7
Donc,  également
Or d'où

Et s’il faut donner l’équation de la tangente, il ne reste plus qu’à trouver b, en utilisant le point de contact ou un autre point de la droite.

3/ Dérivabilité et continuité

Soit f fonction réelle définie en x0 et  au voisinage de
x0
* Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0
Attention !
La réciproque est fausse.
En effet, si nous reprenons l’exemple de la fonction valeur absolue vu plus haut :
Dérivabilité et continuité
La courbe de f peut être tracée autour de 0

« sans lever le crayon » donc
f est continue en 0.
Et pourtant, nous avons montré que
f n’est pas dérivable en 0.
  
4 / Dérivabilité sur un intervalle, fonction dérivée

Dérivabilité sur un intervalle

f est dérivable sur l’intervalle ouvert ] a ; b [
si f est dérivable en x0 , quel que soit x0 élément de ] a ; b [
Si de plus :  et  sont des nombres finis,
alors f est dérivable sur [ a ; b ]
Remarque :
la courbe de f admet alors une demi-tangente à droite en a et une demi-tangente à gauche en b


Fonction dérivée

Si f est dérivable sur I, la fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé en x , f ' (x) est appelée en fonction dérivé de f ou plus simplement dérivée de f et notée f '

On a donc f ' définie sur I et  

* La dérivée de la dérivée de
f est appelée dérivée seconde ou dérivée deuxième et notée f '' ou  f (2)
* Dérivée que l’on peut elle-même dériver et ainsi de suite, formant une suite de fonctions dont la nième est appelée dérivée nième et notée
f
(n)

si f est dérivable sur un intervalle I
alors f est dérivable sur tout intervalle inclus dans I.

Toute  somme, différence ou produit de fonctions dérivables sur I est dérivable sur I.
est dérivable sur I, si u et v sont dérivables sur I et si v ne s’annule pas sur I.
Fonctions de référence
Les fonctions affines, polynômes et trigonométriques sont dérivables sur R.

Les fonctions rationnelles ( quotient de deux polynômes ) sont dérivables sur chacun des intervalles où elles sont définies.

La fonction racine est continue sur [ 0 ; [  mais seulement dérivable sur  ] 0 ; [
La fonction valeur absolue est continue sur R mais seulement dérivable sur les intervalles ; 0[ et ] 0 ; [

Remarque :
On ne peut pas dire que la fonction valeur absolue est dérivable sur 
R* 
car 
R*  n’est pas un intervalle.

5 / Fonctions dérivées de référence
Quel que soit k réel    (k)' = 0   en particulier (0)' = 0 
Cette notation « entre parenthèses », signifie que la dérivée de la fonction constante qui à x associe k est nulle.
Notation considérée comme abusive par certains puristes mais pratique et économique du point de vue rédaction.
 
Pour tout x réel        (ax + b)' = a     
(xn)' = nxn-1
(cos x)' = cos x
Pour x ; 0[  ou ] 0 ; [                       Pour x = 0       Atention à ne pas rajouter un (-) dans cette formule
6 / Propriétés algébriques des fonctions dérivées
1. (0)' = 0
 soient u et v deux fonctions réelles
2. (u + v)' = u' + v'
conséquence de 1 et 2 :
3. (-u)' = -u   et     4. (u- v)' = u' - v'
5. (u x v)' = u' x v + u x v'
En particulier, pour tout réel k : (k x u)' = k x u'
Formule capitale pour le calcul de primitives
6.
Formule qui sera démontrée plus loin à l’aide de la dérivée d’une fonction composée.

Conséquence de 5 et 6 :

7.


7/ Dérivée d’une fonction composée

Dérivabilité en un point

Si g est dérivable en x0 et si f est dérivable en
g(x0) alors  est dérivable en x0 et ()' (x0) = g ' (x0) x f ' (g(x0))

Pour tout x en lequel est dérivable, on a donc : ()' (x) = g ' (x0) x f ' (g(x0))
Dérivabilité sur un intervalle
Si g est dérivable sur I et si f est dérivable sur g(I) alors est dérivable sur I


Exemple d’utilisation et de rédaction


Soit  la fonction h définie par :

On a alors, le schéma de composition suivant :

En appliquant la formule de dérivation d’une fonction composée, on a donc :
   D’où la formule :  
Sur le même principe, on démontre : (un)' = u'
x nun-1 ou encore
Ces formules-là sont à connaître pour être capable de réagir, en particulier dans les futurs calculs de primitives mais elles ne sont pas à apprendre par cœur car on peut facilement les retrouver.
Etre à l’aise avec la dérivation des fonctions composées est capital en terminale et permet en outre d’éviter d’avoir à apprendre trop de formules.


8/ Dérivée et sens de variation d’une fonction

Point de vocabulaire

f est dite croissante sur I si quels que soient a et b de I : a < b ⇒ f< f (b) (a)
Il est alors possible d’avoir : a  b et f (a) = f (b)

f est dite strictement croissante sur I si quels que soient a et b de I : a < b ⇒ f (a) < f (b)
Dans ce cas-là, deux réels différents pris sur I ne peuvent avoir la même image.

 
On dit que f est monotone sur I si son sens de variation ne change pas sur I.
Autrement dit si elle est croissante sur tout I ou décroissante sur tout I.

f est dite strictement monotone sur I si elle est strictement croissante sur tout I, ou strictement décroissante sur tout I.



Signe de la dérivée et sens de variation

Soit f dérivable sur I

Si pour tout x de I : f ' (x) = 0  alors f est constante sur I
Si pour tout x de I : f ' (x) > 0  alors f est croissante sur I  Monotonie large
Si pour tout x de I : f ' (x) < 0  alors f est croissante sur I  Monotonie large
Ces résultats sont admis mais tout à fait logiques étant donné que le nombre dérivé représente la pente ( ou coefficient directeur ) de la tangente.
Si une courbe suit localement une droite dont la pente est positive, cette courbe ne peut que monter
.


Si f ' est strictement positive sur I sauf en des valeurs isolées de I où elle s’annule, alors f est strictement croissante sur I. Monotonie stricte
Si f ' est strictement négative sur I sauf en des valeurs isolées de I où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I.  Monotonie stricte
Exemple de fonction strictement croissante dont la dérivée s’annule ponctuellement
f (x) = x3
Quels que soient a et b réels : a < b ⇒ f (a) < f (b)

Donc f est strictement croissante sur R

Pourtant : f ' (x) = 3x2

La dérivée est donc positive sur
R mais s’annule en 0.

Cependant, comme elle ne s’annule pas
sur tout un intervalle mais seulement en un point isolé,
la fonction cube est tout de même strictement croissante.




Tableau de variations : exemple.
Tableau de variations

les flèches ci dessus signifient que :

1° f est continue sur [3 ; 5]

2° f est strictement croissante sur
[3 ; 5]
 
Utilisations du tableau de variations
1. Il peut servir à trouver le signe de la fonction sur un intervalle, en utilisant variations de la fonction et valeurs où elle s’annule.
2. Le tableau sert également à trouver en quelles valeurs la fonction admet des extrema locaux.

Soit f dérivable sur I et x0 élément de I.
Si f ' s’annule et change de signe en x0 alors f admet un extremum local en x0
* Si le signe de la dérivée passe de positif à négatif, la fonction est croissante puis décroissante donc il s’agit d’un maximum local.
* Si le signe de la dérivée passe de négatif à positif, il s’agit d’un minimum local.

Attention :
f ' (x0) = 0 est une condition nécessaire mais insuffisante pour que f admette un extremum local en x0

En effet :

La dérivée de la fonction cube s’annule en 0, et pourtant la fonction cube n’admet pas d’extremum local en cette valeur.


On dit alors que la courbe admet un point d'inflexion




 
9/ Signe de la dérivée
Savoir dériver une fonction est une chose mais savoir en étudier le signe en est encore une autre.

Voici quelques conseils de stratégie, une fois la dérivée obtenue :
1. Regarder sur quel intervalle la fonction est étudiée.
Cela permet parfois de trouver de suite le signe de la dérivée.

2. On sait étudier le signe :

- des fonctions affines
- des fonctions polynômes du second degré
- des produits de ce types de fonctions.
Il faut donc essayer de s’y ramener :
- en factorisant
- en mettant sur le même dénominateur.
On ne développe une expression que si aucune autre stratégie ne semble possible et si cela permet d’éliminer certains termes.

         Cours complémentaires :

► Fonctions - limites
► Fonctions - continuité
► Théorème des valeurs intermédiaires
► Sommaire cours maths Terminale S

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