Fonctions - Comportement asymptotique

complexe peut se rapprocher.

C’est aussi devenu un nom féminin synonyme de « droite asymptote ».

Asymptote horizontale
 
 Définition
 
 La droite d’équation y=k où k est un nombre réel est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f en  (respectivement en  ) si et seulement si :
(respectivement )
 

Exemple
 
Soit f la fonction définie par

Soit f la fonction définie par

la fonction f est définie sur  et on a

et  

représente la distance PM. 

La droite (D) est asymptote à la courbe  en si et seulement si la distance PM tend vers 0 lorsque x tend vers . 

Exemple

La fonction f est définie sur .
On a, pour tout nombre réel

En effet

On a donc  
 
avec  

Or 

On en déduit que la droite d’équation  est asymptote oblique à la courbe représentative de f en.

De même on a :

donc la droite d’équation est aussi asymptote oblique à la courbe représentative de f en  

Remarque

 avec 

Pour a=0, on retrouve le cas d’une asymptote horizontale. 

La droite (D) d’équation  est asymptote à la courbe représentative de f en si et seulement si 

Démonstration

► Supposons que la droite (D) est asymptote à la
 courbe représentative de f en .

Alors  avec

d’où  et 

► Réciproquement, supposons que 

Alors, posons 

On a  avec

donc la droite (D) est asymptote à la courbe représentative de f en .

Remarque

Pour démontrer une équivalence
 « (A) si et seulement (B) »
on peut démontrer les deux implications
• Si (A) est vrai alors (B) est vrai
• Si (B) est vrai alors (A) est vrai

Comment déterminer une asymptote ?

• Asymptote horizontale

Pour montrer que la droite d’équation y=k est une asymptote horizontale en  à la courbe représentative de f, il suffit de démontrer que 

On peut le faire
- soit en calculant directement  
 
- soit en démontrant que 

- soit en exprimant f(x) sous la forme
 
  avec 

On procède de la même manière en  

• Asymptote verticale

Pour démontrer que la droite d’équation x = a
est une asymptote verticale à la courbe représentative de f, il suffit de montrer que

   ou  

ou   ou   

ou   ou  

Nous avons vu que 

  et 
 

• Asymptote oblique

Pour démontrer que la droite d’équation y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe représentative de f en

- on calcule 
 
puis il suffit de démontrer que 

- on exprime f(x) sous la forme
 
  avec 

On procède de la même manière en .
 

Position de la courbe par rapport aux asymptotes

Soit (D) la droite d’équation y=k.
Si la droite (D) est une asymptote horizontale à la courbe représentative  de f en  ou en , pour étudier la position relative de  par rapport à la droite (D), il suffit d’étudier le signe de 
- Si pour tout x d’un intervalle I, alors la courbe  est au dessus de l’asymptote (D) sur I.
- Si pour tout x d’un intervalle I,  alors la courbe est au dessous de l’asymptote (D) sur I.

Exemple

Soit f la fonction définie par 

Nous avons vu que

 et 

La droite (D) d’équation y=3 est donc asymptote horizontale à la courbe représentative  de f en  et .

Etudions le signe de 

Si x > 0,  , donc 

Cela signifie que pour tout x > 0 la courbe est en dessous de l’asymptote (D)

En revanche
si x < 0,  , donc 

pour tout x < 0 , la courbe est donc au dessus de l’asymptote (D). 

• Cas d’une asymptote oblique 

Soit (D) la droite d’équation y = ax + b.
Si la droite (D) est une asymptote oblique à la courbe représentative
de f en  ou en  , pour étudier la position relative de  par rapport à la droite (D), il suffit d’étudier le signe de .

►Si pour tout x d’un intervalle  , alors la courbe est au dessus de l’asymptote (D). 

► Si pour tout x d’un intervalle  , alors la courbe  est au dessous de l’asymptote (D).