Fonctions affines et système

Cours maths 3ème

Fonction affines et système :

On tentera de travailler sur la définition, la manipulation des fonctions affines et leur détermination à partir de deux points donnés (grâce à des systèmes).
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Définition et notations de fonctions affines



Soit a et b deux nombres fixés.

En associant à chaque nombre "x" un nombre "ax + b" appelé image de x, on définit une fonction affine f.

On notera cette fonction f : x  → ax  +  b

L’image de x sera notée f(x).

Remarques :

  • Une fonction linéaire est une fonction affine particulière.

En effet, f : x  → ax   peut s’écrire f : x  → ax  + 0

  • f : x  → ax  +  b  est une fonction affine,

g : x  → ax  est la fonction linéaire associée à f.


Cours : exemple


Exemple  : Soit f la fonction affine définie par f : x → 2 x + 7

Alors l’image de 5 est f(5) = 2 × 5 + 7 = 10 + 7 = 17

L’image de (-3) est f(- 3) = 2 × (- 3) + 7 = - 6 + 7 = 1

L’antécédent de 8 par f est le nombre x  tel que :

2 x  + 7 = 8
2 x  = 8 – 7                                                                L’antécédent de 8 par f est 0,5.
2 x  = 1
x  = 1: 2 = 0,5


Remarque :

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :    


Cours : déterminer une fonction affine



Soit f une fonction affine.
La donnée de deux nombres et de leurs images permet de déterminer la fonction affine.


Pour cela, il va falloir poser et résoudre un système.
Méthode de substitution

On utilise de préférence la méthode de substitution lorsque l’une des inconnues a pour coefficient 1 ou -1.







Exemple : Pour le système



Méthode de substitution et exemple


1) On exprime l’une des inconnues en fonction de l’autre dans l’une des équations.


2) On remplace l’inconnue dans l’autre équation.
Elle devient une équation du 1er degré à une seule inconnue.


3) On résout la nouvelle équation :


4) On remplace l’inconnue « connue » dans la 1ère équation puis on calcule


5) On conclut : Le couple solution est (2 ; 5).



Méthode de combinaison



On utilise, de préférence, la méthode de combinaison dans tous les autres cas


Exemple : Pour le système 











Méthode de combinaison et exemple


1) On multiplie chaque équation par un nombre afin que les coefficients de x (ou de y) soient les mêmes.


2) On ajoute ou on soustrait terme à terme les 2 équations pour éliminer y.


3) On obtient une équation du 1er degré à 1 inconnue que l’on résout :


4) On remplace l’inconnue « connue » dans la 1ère équation puis on calcule


5) On conclut : Le couple solution est




Exemple : déterminer une fonction affine



Exemple  : Déterminer la fonction affine f telle que : f(1) = 2 et f(-2) = -7

On cherche la valeur des coefficients a et b de la fonction affine f telle que :

f(x) = ax + b

On sait que f(1) = 2 donc a + b = 2
On sait que f(-2) = -7 donc -2a + b = -7


On obtient le système :




Résolution du système

 
 

On conclut : La fonction affine est f(x) = 3x – 1
 
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de résolution

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