Fonctions affines et système
Cours maths 3ème
Fonction affines et système : On tentera de travailler sur la définition, la manipulation des fonctions affines et leur détermination à partir de deux points donnés (grâce à des systèmes). |
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Définition et notations de fonctions affines
Soit a et b deux nombres fixés.
En associant à chaque nombre "x" un nombre "ax + b" appelé image de x, on définit une fonction affine f.
On notera cette fonction f : x → ax + b
L’image de x sera notée f(x).
Remarques :
- Une fonction linéaire est une fonction affine particulière.
En effet, f : x → ax peut s’écrire f : x → ax + 0
- f : x → ax + b est une fonction affine,
g : x → ax est la fonction linéaire associée à f.
Cours : exemple
Exemple : Soit f la fonction affine définie par f : x → 2 x + 7
Alors l’image de 5 est f(5) = 2 × 5 + 7 = 10 + 7 = 17
L’image de (-3) est f(- 3) = 2 × (- 3) + 7 = - 6 + 7 = 1
L’antécédent de 8 par f est le nombre x tel que :
2 x + 7 = 8
2 x = 8 – 7 L’antécédent de 8 par f est 0,5.
2 x = 1
x = 1: 2 = 0,5
Remarque :
On peut regrouper ces résultats dans un tableau :
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Cours : déterminer une fonction affine
Soit f une fonction affine.
La donnée de deux nombres et de leurs images permet de déterminer la fonction affine.
Pour cela, il va falloir poser et résoudre un système.
| On utilise de préférence la méthode de substitution lorsque l’une des inconnues a pour coefficient 1 ou -1. |
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Exemple : Pour le système
Méthode de substitution et exemple
1) On exprime l’une des inconnues en fonction de l’autre dans l’une des équations.
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2) On remplace l’inconnue dans l’autre équation.
Elle devient une équation du 1er degré à une seule inconnue.
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3) On résout la nouvelle équation :
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4) On remplace l’inconnue « connue » dans la 1ère équation puis on calcule
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5) On conclut : Le couple solution est (2 ; 5).
Méthode de combinaison
| On utilise, de préférence, la méthode de combinaison dans tous les autres cas |
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Exemple : Pour le système
Méthode de combinaison et exemple
1) On multiplie chaque équation par un nombre afin que les coefficients de x (ou de y) soient les mêmes.
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2) On ajoute ou on soustrait terme à terme les 2 équations pour éliminer y.
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3) On obtient une équation du 1er degré à 1 inconnue que l’on résout :
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4) On remplace l’inconnue « connue » dans la 1ère équation puis on calcule
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5) On conclut : Le couple solution est
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Exemple : déterminer une fonction affine
Exemple : Déterminer la fonction affine f telle que : f(1) = 2 et f(-2) = -7
On cherche la valeur des coefficients a et b de la fonction affine f telle que :
f(x) = ax + b
On sait que f(1) = 2 donc a + b = 2
On sait que f(-2) = -7 donc -2a + b = -7
On obtient le système :
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Résolution du système
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On conclut : La fonction affine est f(x) = 3x – 1
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