Fonctions affines - introduction

Cours maths 3ème

Fonctions affines - introduction :

Ce cours a pour objectifs de faire manipuler le vocabulaire relatif aux fonctions, les calculs d’images et d’antécédents et de travailler sur la représentation graphique d’une fonction affine.
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Activité : énoncé
 
 
Pour s’inscrire à la salle de sport « en forme », il faut acheter une carte d’abonnement d’un montant de 30 € correspondant aux frais d’inscriptions puis régler 1,50 € par séance.
 
Audrey a pris cet abonnement et s’est rendu 20 fois à la salle au cours du 1er trimestre.
 
Elle calcule sa dépense :
 
30 + 20 × 1,5 = 30 + 30 = 60 €
 
 
 
 
Activité : questions
 
 
1. a) Quatre de ses amies désirent aussi calculer le montant total de leurs dépenses.
 
Voici le tableau obtenu :
 
 
30 + 15 × 1,5 = 30 + 22,5 = 52,5 €
30 + 18 × 1,5 = 30 + 27 = 57 €
30 + 25 × 1,5 = 30 + 37,5 = 67,5 €
30 + 32 × 1,5 = 30 + 48 = 78 €
 
b) Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier.
 
 
 Donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

 
 
 
 
On exprime la dépense total en multipliant  le nombre de séance par 1,5 puis on ajoute 30.
Plus généralement, si x  désigne le nombre de séances, pour exprimer en fonction de
x  la dépense total, on applique le programme de calcul suivant :

 
Ce procédé qui a tout nombre
x  associe le nombre 1,5x  + 30 définit une fonction affine.
Si on appelle f la fonction, on note :          f :
x 1,5 x  + 30
 
Activité : résumé
 
 
Ce procédé qui a tout nombre x  associe le nombre 1,5 x  + 30 définit une fonction affine f.
On note :         f : x → 1,5 x + 30
Le nombre 1,5x  + 30 est appelé « l’image de x  par la fonction f » ;
On note f(
x) cette image, on lit « f de x » et on écrit f(x) = 1,5 x + 30.
 
 
 

Définitions et notations de fonctions affines

 
 
Soit a et b deux nombres fixés.
En associant à chaque nombre « x » un nombre « a
x + b» appelé image de x, on définit une fonction affine f.
On notera cette fonction f :
x  → ax  +  b
L’image de
x sera notée f(x).
 
Remarques :
 
♦ Une fonction linéaire est une fonction affine particulière.
En effet, f :
x  → ax   peut s’écrire f : x  → ax  + 0
f :
x  → ax  +  b  est une fonction affine,
g :
x  → ax  est la fonction linéaire associée à f.
 
 
 
Cours : exemple
 
 
Exemple  :
 
Soit f la fonction affine définie par f :
x → 2 x + 7
Alors l’image de 5 est f(5) = 2 × 5 + 7 = 10 + 7 = 17
L’image de (-3) est f(- 3) = 2 × (- 3) + 7 = - 6 + 7 = 1
 
Le nombre qui a pour image 8 par f est le nombre
x  tel que :
2
x  + 7 = 8
2
x  = 8 – 7
2
x  = 1
x  = 1 ÷ 2 = 0,5
Le nombre qui a pour image 8 par f est 0,5.

 
Remarque :
 

On peut regrouper ces résultats dans un tableau :
 
 
 
 
 

Représentation graphique de fonctions affines

 
 
La représentation graphique de la fonction f est l’ensemble de tous les points M
de coordonnées ( x ; f(x) ) obtenus en prenant toutes les valeurs possibles de x.
 
 
 
Activité : observation
 
 
f est la fonction affine : f :
x → 2 x – 3.
 
 
1) Calculer f(0) ; f(1) ; f(3) ; f(-1).

 
f(0) = 2 × 0 – 3 = -3
f(1) = 2 × 1 – 3 = 2 – 3 = -1

f(3) = 2 × 3 – 3 = 6 – 3 = 3
f(-1) = 2 × (-1) – 3  = -2 – 3 = - 5

 
 
2) Dans le repère ci-contre, placer les points :
 
 
A (0 ; f(0) )  ;
B (1 ; f(1) )  ;
C (3 ; f(3) )  ;
D (-1 ; f(-1) ) ;

 
 
 
3) Qu’observe-t-on ?
 
Les points A, B, C et D semblent alignés.
 
 
 
 
 

Cours : représentation graphique de fonctions affines

 
 
Propriétés :
 
La représentation graphique d’une fonction affine f :
x → ax + b est une droite d’équation y = ax + b.
Cette droite est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée et passe par le point (0 ; b).

 
 
Remarque :
 
Pour la construire, il suffit de connaître deux points (abscisses
x et leurs images f(x) )
 
 
Définitions :
 
a est le coefficient directeur de la droite d ; b est l’ordonnée à l’origine.
 
 
 
Cours : exemple
 
 
Exemple  :
 
Soit g la fonction affine définie par g : x → 2x – 5.
Sa représentation graphique est une droite.
g(0) = -5 et g(1) = 2 ×1 – 5  = 2 – 5 = - 3
 

 
 
 
 
 
 
 
 
La fonction linéaire associée à g est : f : x → 2 x
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







         Cours complémentaires :

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