Fonction logarithme

Cours maths Terminale S

Fonction logarithme :
Il existe plusieurs façons d’introduire la notion de fonction logarithme népérien. Dans ce module, nous choisissons de la définir en tant que fonction réciproque de la fonction exponentielle.
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1/ Introduction

Il existe plusieurs fonctions logarithmes.

Les plus connues sont la fonction logarithme népérien et la fonction logarithme décimal.

La première est utilisée en mathématiques
et la deuxième qui permet de manipuler les puissances de 10
est surtout utilisée en sciences physiques, et plus particulièrement en chimie.

Il existe plusieurs façons d’introduire en mathématiques
la notion de fonction logarithme népérien :
Une première façon est de définir cette fonction comme la fonction réciproque
de la fonction exponentielle.

Une deuxième façon est de la définir
comme unique primitive de la fonction inverse s’annulant en 1.

Nous choisissons dans ce cours d’introduire le logarithme népérien
 en tant que fonction réciproque
puis nous démontrerons que la fonction ainsi définie est bien l’unique primitive
de la fonction inverse s’annulant en 1.
2/ Rappels sur la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R
qui a pour dérivée elle-même et qui prend la valeur 1 en 0.

D’un point de vue pratique,
cette définition et les premiers résultats qui en découlent peuvent être résumés ainsi :
La fonction exponentielle, notée exp :
- est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R .
- pour tout x :  exp' (x) = exp (x)
- pour tout x :  exp (x) > 0
- exp (0) = 1
Le nombre exp(1) étant noté e, (e ≈ 2,718)
la fonction exponentielle peut alors s’écrire sous la forme d’une puissance :

Tableau de variations complet de la fonction exponentielle :



La fonction exponentielle étant continue et strictement croissante sur
R, d’après le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de R sur son intervalle image : ] 0 ; [

3/ Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle réalise une bijection de
R sur l’intervalle ] 0 ;[

Cela signifie donc que tout réel x élément de ] 0 ; [
possède un unique antécédent y dans R par la fonction exponentielle.

Cet antécédent est noté : lnx , ce qui se lit « L »« N » de x

On fabrique ainsi la fonction réciproque de la fonction exponentielle,
notée ln et appelée fonction logarithme népérien
qui est définie sur ] 0 ; [ et à valeurs dans R.

Remarques :
1)  On notera ln(2) sans parenthèses : ln 2 , mais on conservera la  notation avec parenthèses propre aux fonctions pour ln(-3) par exemple.

2) La notation « ln » est donnée par les initiales de l’expression : « Logarithme Népérien »
.

4/ Valeurs de référence


Utilisons la définition du logarithme népérien pour trouver les images de 1 et de e :

exp (0) = 1   Donc : ln 1 = 0

De même :

 exp (1) = e     Donc :  ln e = 1


5/ Ecriture exponentielle
Pour tout réel x > 0 :
si y = ln x,

par définition, y est l’antécédent de x par la fonction exponentielle,

donc y vérifie :  exp (y) = x

Autrement dit :  exp (ln x) = x 

D’où, pour tout x > 0 :  eln x = x

Ce qui d’un point de vue pratique signifie que tout réel x strictement positif,

peut s’écrire :   x = eln x

6/ Ecriture logarithmique
Pour tout réel y :
si  ln x = y ,
par définition, y est l’antécédent de x par la fonction exponentielle,
donc x vérifie :   x = exp (y)

Autrement dit : ln (exp (y)) = y

D’où, pour tout réel y :  ln ey = y

Ce qui d’un point de vue pratique signifie que tout réel y,

peut s’écrire : y = ln ey

7/ Bilan pratique sur la fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle ] 0 ; [

La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle ] 0 ; [
 
Un réel négatif ou nul ne possède donc pas d’image par la fonction logarithme.
 
La fonction logarithme népérien est à valeurs dans R.
 
 
La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle :

Pour tout x > 0 : y = ln x ⇔ x = ey

Valeurs de référence : ln 1 = 0 et ln e = 1

 
 
Pour tout réel x > 0 :  elnx = x
Autrement dit, tout nombre réel x > 0 possède une écriture exponentielle :   x = elnx
Attention !
Les deux égalités ne sont donc pas toutes les deux vraies pour tout réel.


Une telle écriture est impossible pour x < 0 car alors le nombre lnx n’existe pas.

Pour tout réel y : ln ey = y
Autrement dit, tout nombre réel y possède une écriture logarithmique : y = ln ey
Remarque :
Pour cette dernière propriété, nous utilisons la variable y pour cadrer avec notre schéma mais on peut également énoncer ce résultat sous la forme : pour tout réel x :  x = ln ex
 
8/ Propriétés algébriques du logarithme népérien
Quels que soient a et b réels :  ea x eb = ea+b
Et la fonction exponentielle étant une bijection de R sur ] 0 ; [ : ea = eb ⇒ a = b
De cette propriété algébrique sur la somme pour l’exponentielle, nous allons déduire une propriété algébrique sur le produit pour le logarithme :

Montrons que pour a et b strictement positifs :
a x b > 0 donc il possède une écriture exponentielle :
a x b = eln(axb)
a et b étant eux aussi strictement positifs, ils peuvent s’écrire : a = eln a  et b = eln b
D’où :  a x b = eln a x eln b
Donc, d’après la propriété rappelée pour l’exponentielle :  a x b = eln a + ln b
Par conséquent :   eln (a x b) = eln a + ln b
D’où : ln (a x b) = ln a + ln b

Attention !
Les propriétés suivantes concernant le logarithme ne sont valables
que pour a et b strictement positifs.

Comme nous venons de le voir :



l’exponentielle de la somme vaut le produit des exponentielles devient :



le logarithme du produit vaut la somme des logarithmes.


En raisonnant de la sorte, on peut déduire de chaque propriété algébrique de l’exponentielle
une propriété algébrique du logarithme népérien.


L’exponentielle de l’opposé vaut l‘inverse de l’exponentielle devient :



le logarithme de l’inverse vaut l’opposé du logarithme.




L’exponentielle de la différence vaut le rapport des exponentielles devient :



le logarithme du rapport vaut la différence des logarithmes.


Pour tout entier relatif n :



L’exponentielle du produit d’un nombre par un entier n
vaut l’exponentielle de ce nombre puissance n devient :



le logarithme d’un nombre à la puissance n

vaut le produit du logarithme de ce nombre par n.


Cette propriété vraie pour tout entier relatif n, l’est également pour
Or, rappel :  
d'où

Remarques :
1) La fonction logarithme népérien possède les mêmes propriétés algébriques que l’argument d’un nombre complexe.

Ceci est logique car :
* Si  x est un nombre réel strictement positif, il possède une écriture exponentielle :  x = eln x
* Si z est un nombre complexe non nul, il possède une écriture exponentielle :  z = reiarg z
Les fonctions ln et arg étant toutes deux en exposant d’une exponentielle,
elles héritent des mêmes propriétés algébriques, découlant de celles de l’exponentielle.

2) Si on choisit d’introduire la notion de fonction exponentielle en tant que primitive, ses propriétés doivent alors être démontrées sans passer par l’exponentielle.

Ceci fera l’objet d’un exercice pouvant être considéré comme un R.O.C.
9/ Résolution d’équations

La fonction exponentielle réalise une bijection de R sur l’intervalle ] 0 ;
[
Donc : La fonction logarithme népérien réalise une bijection de ] 0 ; [ sur R.
Conséquence :
Quels que soient a et b réels strictement positifs : ln a = ln b ⇔ a = b

Démonstration :
sens direct :
soient a et b réels strictement positifs tels que : ln a = ln b
Posons :   y = ln a = ln b et supposons :   ln a  ln b
y possède alors deux antécédents sur ] 0 ;[ par la fonction ln.
Ce qui est impossible car la fonction ln est une bijection de ] 0 ; [ sur R.
sens réciproque :
si a et b sont strictement positifs tels que a = b alors lna = lnb.

Cette conséquence, couplée à l’écriture logarithmique de tout nombre réel, va nous permettre de résoudre les équations faisant intervenir un logarithme.

Exemple : pour résoudre (E) :  ln x = 4
1°   il faut chercher l’ensemble de définition de l’équation :
lnx est défini si et seulement si x  > 0 donc : D (E) = ] 0 ; [

2° il faut écrire 4 sous forme logarithmique :

⇔ ln x = ln e4
⇔ x = e4 d'après la conséquence
3°  il faut vérifier que la solution trouvée est dans l’ensemble de définition :
e4 > 0   donc  e4  D(E)
D’où : S = { 4 }.

10/ Résolution d’inéquations

La fonction exponentielle est strictement croissante sur
R.
Or sa fonction réciproque possède le même sens de variation donc :
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ] 0 ;
[

Conséquence :
Quels que soient a et b réels strictement positifs :
ln a < ln b ⇔ a < b

Démonstration :
sens direct :
soient a et b réels strictement positifs tels que :  ln a < ln b
si a > alors   comme la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ;[ :  ln a > ln b
Ce qui est contraire à l’hypothèse, d’où : a < b.

sens réciproque :
si a et b sont strictement positifs tels que a < b.
Alors, comme la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; [ : lna < lnb.
Cette conséquence, couplée à l’écriture logarithmique de tout nombre réel, va nous permettre de résoudre les inéquations faisant intervenir un logarithme.

Exemple : pour résoudre (I) :  ln x < 0
Remarque :
sur cet exemple, on pouvait bien entendu directement remplacer 0 par ln1.

1°  il faut chercher l’ensemble de définition de l’inéquation :
lnx est défini si et seulement si x  > 0 donc :  D(1) = ]0 ; [

2°  il faut écrire 0 sous forme logarithmique :

⇔ ln x < ln e0
⇔ x  < 1 d’après la conséquence.
3°  il faut réaliser l’intersection entre l’ensemble trouvé et l’ensemble de définition : 
< 1 et x D(1)  ⇔ 0 < x < 1
D’où :  S = ] 0 ; 1 [
11/ Dérivée de la fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle est continue, dérivable et strictement croissante sur
R.
Or, sa fonction réciproque possède les mêmes propriétés donc :
La fonction logarithme népérien est continue, dérivable et strictement croissante sur ] 0 ;[

De plus, tout réel x >0 peut s’écrire : x = eln x
Dérivons la fonction composée qui est à droite : 
D’où :
Or :   , donc :   . Par conséquent, pour x >0 : 
Donc :

La fonction ln est dérivable sur ] 0 ;
[ et pour tout x > 0 :
De plus : ln1 = 0.
On retrouve donc bien que :
la fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse qui s’annule en 1.
Remarque :
Tout ceci est cohérent puisque la fonction inverse étant strictement positive sur ] 0 ;
[, on retrouve que la fonction ln est strictement croissante sur ce même intervalle.

12/ Autres fonctions logarithmes

Comme nous l’avons vu, pour a et b réels strictement positifs : ln(axb) = ln a +ln b.

On ne le démontrera pas mais plus généralement :
Si une fonction f, définie et continue sur ] 0 ;[ est telle que :
quels que soient a et b strictement positifs : f (axb) = f (a) + f(b)
alors il existe un réel k tel que pour tout x > 0 : f (x) = k lnx.
Remarques :
1) La fonction ln n’est donc qu’un cas particulier, correspondant à k = 1.

2) Il s’agit en fait d’une troisième façon de définir la fonction logarithme népérien :

Celle-ci étant la fonction f vérifiant l’équation fonctionnelle :
f (axb) = f (a) + f (b)  et pour laquelle f (e)=1.
C’est pour cette raison que le logarithme népérien est également appelé :
« logarithme de base e ».
Sur le même principe on définit une autre fonction logarithme:
la fonction f définie, continue sur ] 0 ; [ vérifiant : f (axb) = f (a) + f (b) et f (10)=1.

Cette fonction logarithme de base 10 est appelée logarithme décimal et noté log.

Cherchons la valeur de k :  log 10 = 1 donc : k ln10 = 1, d’où : 
Par conséquent, pour tout x > 0 : 
Il est facile de démontrer que :
La fonction log possède les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln.

On peut alors en déduire la propriété la plus utile du log, à savoir :
pour tout entier n :  log 10n = n log 10

La fonction log est dérivable sur ] 0 ;
[ et pour tout x > 0 :
Or  10 > 1 donc ln 10 > ln 1 car la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; [.

d'où ln 10 > ln 0

Remarque :
le fait que la position d’un nombre par rapport à 1 donne le signe de son ln deviendra évident quand, dans le prochain module, nous étudierons la fonction ln et tracerons sa courbe représentative.


Par conséquent :
La fonction log est strictement croissante sur ] 0 ; [ .
Exemple d’utilisation en chimie pour encadrer un pH :
Rappel : pH = -log[H+]

Si l’on sait que la concentration en ions
H+, d’une solution est d’à peu près 0,0003  , il est alors possible d’encadrer le pH de cette solution.
0,0003 = 3 x 10-4   d’où :  10-4 < [H+] < 10-3
Or, la fonction log est strictement croissante sur ] 0 ; [

donc : 
log 10-4 < log [H+] < log 10-3

-4 < -pH < -3  d'où 3 < pH < 4


         Cours complémentaires :

► Fonction exponentielle
► Etude de la fonction exponentielle
► Etude de la fonction logarithme
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