.gif)
.gif)
.gif)
Fonction exponentielle
Fonction exponentielle : Dans ce module est introduite la fonction exponentielle, en tant que seule fonction ayant pour dérivée elle-même et prenant la valeur 1 en 0. |
| ► Sommaire cours maths Terminale S A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |
1/ Définition de la fonction exponentielle
Théorème de la fonction exponentielle :
f ’ (x) = f (x) et f (0) = 1
Définition :La dénomination « exponentielle » donnée à cette fonction a la même racine que le mot exposant, nous verrons plus loin pourquoi.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp.
Remarques :
1) La démonstration du théorème est admise.
2) La fonction exponentielle est donc la seule fonction qui ait pour dérivée elle-même et qui prenne la valeur 1 en 0.
3) k étant réel, toute fonction du type : g (x) = k x exp (x) a pour dérivée elle-même.
4) La fonction exponentielle est dérivable sur
Propriété de la fonction exponentielle : : ( admise )Pour tout x de R : exp (x) > 0Conséquence :
La fonction exponentielle est strictement positive sur R.La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
En résumé :
La fonction exponentielle, notée exp :2/ Propriétés algébriques de la fonction exponentielle- est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R.
- pour tout x : exp’ (x) = exp (x)
- pour tout x : exp(x) > 0
- exp (0) = 1
Les propriétés qui suivent seront démontrées dans l’exercice n°1 dans votre espace membre qui constitue un R.O.C.
pour tout entier naturel n :
Théorème
de la fonction exponentielle :La fonction exponentielle est une bijection de R sur ] 0 ;Démonstration :[
La fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur R donc, d’après le théorème de la bijection : elle réalise une bijection de R sur exp(R) .
Or, dans le prochain module, l’étude des limites de la fonction exponentielle nous permettra de montrer que : exp (
R) = ] 0 ;[La fonction exponentielle réalise donc une bijection de R sur ] 0 ;
[Conséquence n° 1 :
Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ;
[signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x).
On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle,
qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x).
Cette fonction, donc définie sur
[ et à valeurs dans R est appelée :fonction logarithme népérien et notée ln.
Ce qu’il est important de comprendre pour l’instant d’un point de vue purement pratique,est que :
tout nombre réel y strictement positif peut s’écrire sous forme exponentielle :
y = exp(x) avec x = ln y
Tout nombre réel y > 0 peut s’écrire : y = exp(ln y)
Conséquence n° 2 :
Quels que soient a et b réels :exp(a) = exp(b) ⇔ a = bDémonstration
Sens réciproque : si a = b alors exp(a) = exp(b).
Sens direct :
Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ;
Soient a et b réels tels que exp(a) = exp(b).
exp(a) > 0 , posons y = exp(a).
Si b ≠ a alors il existe deux réels distincts qui ont pour image y par la fonction exponentielle.
Ce qui est contraire qu fait que exp soit une bijection de R sur ] 0 ;
Utilisation pratique :
Cette équivalence va nous permettre de résoudre des équations du type : exp (x) = k
- si k > 0 alors k peut s’écrire k = exp (ln k) et l’équation devient : exp (x) = exp (ln k)Et dans le cas très particulier où k=1, on peut se passer du logarithme népérien :
D’où : x = ln k , d’après l’équivalence.
Quels que soient a et b réels : exp (a) < exp (b) ⇔ a < bDémonstration
Sens réciproque :si a < b , comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R : exp(a) < exp(b).
Sens direct :
Soient a et b réels tels que : exp(a) < exp(b).
Montrons par l’absurde que a < b.Supposons a > b
on aurait alors, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R : exp(a) > exp(b).
Ce qui est contraire à l’hypothèse : exp(a) < exp(b), donc a <
b.
Équivalence qui peut être élargie en la combinant à la conséquence n° 2 :
Utilisation pratique :
Ces équivalences vont nous permettre, dans certains cas, de résoudre des inéquations faisant intervenir la fonction exponentielle.
Si l’inéquation est par exemple : exp (x) > 3Une valeur approchée de ln3 pouvant être trouvée à la calculatrice si besoin est.
3 > 0 donc il peut être écrit : 3 = exp (ln 3)
Et l’inéquation devient : exp (x) > exp (ln3) ⇔ x > ln 3
5/ Notation puissance de la fonction exponentielle
Le nombre exp(1) est noté e.
On a alors pour tout n entier naturel : exp(n) = exp (n x 1) = (exp (1))n
Et l’exponentielle de tout entier naturel peut donc être notée sous la forme d’une puissance : exp (n) = en
Cette remarque étant faite sur les naturels, on décide d’étendre cette notation puissance à tous les réels :
Pour tout x réel, exp(x) peut maintenant être notée : exp (x) = ex
avec les propriétés algébriques de l’exponentielle
qui formulées à l’aide de cette nouvelle notation deviennent :
conséquences
pour tout entier naturel n :
grâce à cette nouvelle notation, les propriétés de l’exponentielle
Cours complémentaires : |
| ► Sommaire cours maths Terminale S A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions |
.jpg)