Fonction exponentielle

Cours maths Terminale S

Fonction exponentielle :
Dans ce module est introduite la fonction exponentielle, en tant que seule fonction ayant pour dérivée elle-même et prenant la valeur 1 en 0.
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1/ Définition de la fonction exponentielle

Théorème de la fonction exponentielle:

Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que pour tout x réel :
f ' (x) = f
(x) et f (0) = 1

Définition :
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp.
La dénomination « exponentielle » donnée à cette fonction a la même racine que le mot exposant, nous verrons plus loin pourquoi.

Remarques :
1)   La démonstration du théorème est admise.
     
( On trouvera dans la plupart des livres de terminale, la démonstration de l’unicité. )

2)   La fonction exponentielle est donc la seule fonction qui ait pour dérivée elle-même et qui prenne la valeur 1 en 0.

3)  k étant réel, toute fonction du type :  g (x) = k x exp (x)  a pour dérivée elle-même.
4)   La fonction exponentielle est dérivable sur
R donc continue sur R.

Propriété de la fonction exponentielle:: ( admise )
Pour tout x de R : exp (x)  > 0
La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
Conséquence :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

En résumé :

La fonction exponentielle, notée exp :
- est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R.
- pour tout x : exp' (x) = exp (x)
- pour tout x :  exp(x) > 0
- exp (0) = 1
2/ Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Les propriétés qui suivent seront démontrées dans l’exercice n°1 dans votre espace membre qui constitue un R.O.C.

Quels que soient a et b réels :



conséquences :



pour tout entier naturel n :


3/ Équations de la fonction exponentielle

Théorème
de la fonction exponentielle:
La fonction exponentielle est une bijection de R sur  ] 0 ; [
Démonstration :
La fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur
R donc,  d’après le théorème de la bijection : elle réalise une bijection de R sur exp(R) .

Or, dans le prochain module, l’étude des limites de la fonction exponentielle nous permettra de montrer que : exp (
R) =   ] 0 ; [

La fonction exponentielle réalise donc une bijection de
R sur   ] 0 ; [

Conséquence n° 1 :

Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de
R sur   ] 0 ; [
signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x).

On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle,
qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x).
Cette fonction, donc définie sur
  ] 0 ; [ et à valeurs dans R est appelée :
fonction logarithme népérien et notée ln.

Se lit  : « L » « N » de y.

La fonction logarithme népérien sera l’objet d’étude d’un futur module.

Ce qu’il est important de comprendre pour l’instant d’un point de vue purement pratique,
est que :
tout nombre réel y strictement positif peut s’écrire sous forme exponentielle :
y = exp(x)   avec   x = ln y
Autrement dit que :
Tout nombre réel y > 0 peut s’écrire : 
y = exp(ln y)


Conséquence n° 2 :

Quels que soient a et b réels  :exp(a) = exp(b) ⇔ a = b
Démonstration
Sens réciproque : si a = b alors exp(a) = exp(b).
Sens direct :
Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur  ] 0 ; [  signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que exp(x) = y.

Soient a et b réels tels que exp(a) = exp(b).
exp(a) > 0 , posons y = exp(a).
Si b ≠ a alors il existe deux réels distincts qui ont pour image y par la fonction exponentielle.
Ce qui est contraire qu fait que exp soit une bijection de R sur  ] 0 ; [ donc a = b.

Utilisation pratique :

Cette équivalence va nous permettre de résoudre des équations du type : exp (x) = k
- si k > 0 alors k peut s’écrire k = exp (ln k) et l’équation devient : exp (x) =  exp (ln k)
D’où :  x = ln k , d’après l’équivalence.
Et dans le cas très particulier où k=1, on peut se passer du logarithme népérien :
exp (x) = 1 ⇔ exp (x) = exp (0) ⇔ x = 0
4/ Inéquations de la fonction exponentielle

Quels que soient a et b réels : exp (a) < exp (b) ⇔ a < b
Démonstration
Sens réciproque :
si a < b , comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R : exp(a) < exp(b).
Sens direct :
Soient a et b réels tels que : exp(a) < exp(b).
Montrons par l’absurde que a < b.
Supposons a > b

on aurait alors, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur
R :   exp(a) > exp(b).

Ce qui est contraire à l’hypothèse : exp(a) < exp(b), donc a <
b.

 
Équivalence qui peut être élargie en la combinant à la conséquence n° 2 :
Quels que soient a et b réels : exp(a) < exp(b) ⇔ a < b

Utilisation pratique :

Ces équivalences vont nous permettre, dans certains cas, de résoudre des inéquations faisant intervenir la fonction exponentielle.
Si l’inéquation est par exemple : exp (x) > 3
3 > 0 donc il peut être écrit :  3 =  exp (ln 3)
Et l’inéquation devient : exp (x) > exp (ln3) x > ln 3
Une valeur approchée de ln3 pouvant être trouvée à la calculatrice si besoin est.
5/ Notation puissance de la fonction exponentielle


Le nombre exp(1) est noté e.
Une valeur approchée de e est : e ≈  2,718 

On a alors pour tout n entier naturel :  exp(n) = exp (n x 1) = (exp (1))n

Et l’exponentielle de tout entier naturel peut donc être notée sous la forme d’une puissance : exp (n) = en

Cette remarque étant faite sur les naturels, on décide d’étendre cette notation puissance à tous les réels :
Pour tout x réel, exp(x) peut maintenant être notée :  exp (x) = ex
Notation, nous allons le voir, parfaitement cohérente
avec les propriétés algébriques de l’exponentielle
qui formulées à l’aide de cette nouvelle notation deviennent :



conséquences




pour tout entier naturel n:




grâce à cette nouvelle notation, les propriétés de l'exponentielle
apparaissent tout simplement comme identiques aux propriétés d'une puissance
on peut alors rajouter celle-ci :


         Cours complémentaires :

► Etude de la fonction exponentielle
► Fonction logarithme
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