Fonction dérivée

 
Définition de la fonction dérivée
 
Soitun intervalle de  et soit f une fonction définie sur

si elle
est dérivable en tout nombre réel  de

Dans ce cas, la fonction qui à tout associe le nombre dérivé 
de f en s’appelle la fonction dérivée de f.

On la note :  
 
 
Exemple
 
Soit f la fonction définie sur par :
Soit  On a :
 
 
 
 Lorsque h tend vers 0,  tend vers  donc

La fonction f est donc dérivable en , pour tout
et on a :

La fonction

est la fonction dérivée de la fonction f. 

 
Dérivée des fonctions usuelles
 
 

et soit  sa dérivée.
Si la fonction

est elle-même dérivable, on note  ou  
sa dérivée et on l’appelle dérivée seconde de . 

Exemple
 
Soit f la fonction définie sur par  
Nous avons vu tout à l’heure que f est dérivable sur et que, pour tout nombre réel , on a

La fonction est elle-même dérivable sur .
En effet, pour tout , on a :

Opérations sur les fonctions
 
Nous allons voir maintenant quelques propriétés qui permettent de calculer la dérivée d’une fonction à partir des dérivées des fonctions usuelles.

Somme de fonctions

Propriété

Soient n et v deux fonctions dérivables sur un intervalle . Alors la fonction
est dérivable sur et ,
C’est-à-dire pour tout  

Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie sur [0, [ par  .
On a pour tout [0,[

La fonction u est dérivable sur et la fonction v est dérivable sur ]0,[ donc la fonction f est dérivable sur
]0,[ et 
 
 

Produit d’une fonction par un nombre réel

Propriété

Soit  une fonction dérivable sur un intervalle et soit  un nombre réel. Alors la fonction  est dérivable sur et c’est-à-dire pour tout 

 
 
 
Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie par  on a pour tout   où 
 . La fonction u est dérivable sur et pour tout  
La fonction f est donc dérivable sur et pour tout  

Propriété

Toute fonction polynôme est dérivable sur

Exemple

Soit P la fonction polynôme définie par :
On pour tout ,

Les fonctions u, v, t et w sont dérivables sur et on a, pour tout
 

On en déduit que la fonction polynôme P est dérivable sur  
 
et pour tout

Produit de deux fonctions

Propriété

Soit  et  deux fonctions dérivables sur un intervalle alors la fonction  est dérivable sur et  c’est-à-dire pour tout   

Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie par  on a, pour tout
  et 

La fonction f est dérivable sur  et pour tout

 

Inverse d’une foncton

Propriété

Soit une fonction dérivable sur un intervalle alors la fonction  est dérivable sur et, pour tout , on a
 
 

Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie par

Posons  la fonction u est définie et dérivable sur , elle s’annule pour  

Donc la fonction f est dérivable sur  et on a pour tout  ,  et 

Quotient de deux fonctions

Propriété

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle . On suppose que pour tout ,  alors la fonction  est dérivable sur 

Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie sur par

Posons

les fonctions u et v sont des fonctions polynômes dérivables sur et on a
 
  et  

Comme pour tout  ,
la fonction f est dérivable sur  et on a :

Dérivée d’une composée de la forme


Propriété

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle et soient a et b deux nombres réels. Alors la fonction f définie par
est dérivable en tout nombre réel  tel que  et on a

Exemple

Soit f la fonction définie par

On a, pour tout

  où 

La fonction u est dérivable sur  et on a  . .
On en déduit que la fonction f est dérivable sur  et