Evènements

Considérons une expérience aléatoire (lancer de dés, tirage de boules d’une urne etc…)

Les résultats possibles de cette expérience sont appelés des issues.

Les issues de l’expérience sont notées : e1 ; e2 ; ... ; ou 

Nous verrons plus loin les raisons de ces deux notations.

L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers et noté (Se lit « oméga ». C’est un oméga, majuscule.
Cet oméga majuscule, étant l’ensemble des issues, il est cohérent que l’on note celles-ci à l’aide d’un oméga, minuscule : )

Exemple :
Soient un jeton à deux faces numérotées 1 et 2 et un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6.
Et soit l’expérience aléatoire qui consiste à jeter simultanément le jeton et le dé puis à noter le résultat sous la forme d’un couple.

Alors :
= ( 1 ; 1 ) ;( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 3 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 5 ) ;( 1 ; 6 ) ;( 2 ; 1 ) ;( 2 ; 2 ) ;( 2 ; 3 ) ;( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 5 ) ;( 2 ; 6 )

Rappel :
le nombre d’éléments d’un ensemble E est appelé cardinal de E et noté : card E

Ici : card = 12

On appelle événement, toute partie ou sous-ensemble de l’univers

Exemples :

Évènement A  : « le chiffre sur le jeton est 1 ».
A = ( 1 ; 1 ) ;( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 3 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 5 ) ;( 1 ; 6)
Et card A = 16 

Évènement B  : « au moins un des chiffres obtenus est pair ».
B = ( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 6 ) ; ( 2 ; 1 ) ;( 2 ; 2 ) ;( 2 ; 3 ) ( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 5 ) ;( 2 ; 6 )
et card B = 6

Événement C  : « les 2 chiffres obtenus sont pairs »
C = ( 2 ; 2 ) ;( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 6 )
et card C = 3

* L’ensemble vide, Ø, représente un événement impossible.
Et card Ø = 0.

Exemple d’événement impossible :
Événement A : « le chiffre sur le jeton est strictement supérieur à 2 ».

* L’univers,, représente un événement certain.

Exemple d’événement certain :
Événement B : « le chiffre sur le dé n’est pas nul ».

* Tout événement réduit à un seul élément est appelé événement élémentaire.
D = ( 1 ; 3 ) est par exemple un événement élémentaire.

* Tout événement, non impossible, est la réunion d’événements élémentaires, qui sont les singletons formés avec les éléments qui constituent cet événement.
C = ( 2 ; 2 ) ;( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 6 ) = ( 2 ; 2 ) U ( 2 ; 4 ) U ( 2 ; 6 )

En particulier, , est la réunion de tous les événements élémentaires.
D’où la notation e_i, adoptée pour les issues.

Attention à ne pas confondre, l’issue e_i qui est un élément de et l’événement élémentaire e_i qui est un sous-ensemble de , formé avec e_i

* Soient A et B deux événements de l’univers
L’événement est l’événement « A et B ».

Autrement dit :

Exemple :

Événement A  : « le chiffre sur le jeton est 1 ».

Événement B : « au moins un des chiffres obtenus est pair ».

Événement A et B  : « le chiffre sur le jeton est 1 et au moins un des chiffres obtenus est pair ».

Événement égal à l’événement : « le chiffre sur le jeton est 1 et le chiffre sur le dé est pair ».
Soit :  = ( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 6 )

Résultat que l’on peut retrouver d’un point de vue purement ensembliste, en effet :
A = ( 1 ; 1 ) ;( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 3 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 5 ) ;( 1 ; 6)
B = ( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 6 ) ; ( 2 ; 1 ) ;( 2 ; 2 ) ;( 2 ; 3 ) ( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 5 ) ;( 2 ; 6 )

D’où = ( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 6 )

* Soient A et B deux événements de l’univers
Les événement A et B sont dits incompatibles si = Ø.

Autrement dit, si l’événement « A et B » est impossible.

Exemple :

Événement A : « le chiffre sur le jeton est 1 ».

Événement C : « les 2 chiffres obtenus sont pairs ».
A et C sont incompatibles.

Du point de vue ensembliste :
A =  ( 1 ; 1 ) ;( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 3 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 5 ) ;( 1 ; 6)
C = ( 2 ; 2 ) ;( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 6 )

On a bien :  Ø.

* Soient A et B deux événements de l’univers
L’événement   est l’événement « A ou B ».
Autrement dit :

Exemple :

Événement A  : « le chiffre sur le jeton est 2 ».

Événement B : « le chiffre sur le dé est pair ».

Événement A ou B : « le chiffre sur le jeton est 2 ou le chiffre sur le dé est pair ».

Événement égal à l’événement  : « au moins l’un des deux chiffres est pair ».

Soit ( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 6 ) ;(2 ; 1) ;( 2 ; 2 ) ;( 2 ; 3 ) ;( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 5 ) ;(2 ; 6 )

Résultat que l’on peut retrouver d’un point de vue purement ensembliste, en effet :
A = ( 2 ; 1 ) ;( 2 ; 2 ) ;( 2 ; 3 ) ;( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 5 ) ;( 2 ; 6 )
B = ( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 6 ) ;( 2 ; 2 ) ;( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 6 )

D’où =  ( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 6 ) ;(2 ; 1) ;( 2 ; 2 ) ;( 2 ; 3 ) ;( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 5 ) ;(2 ; 6 )

Soient A et B deux événements de l’univers

Cas particulier n° 1 : A et B incompatibles

Exemple :
Événement A : « le chiffre sur le dé est plus grand que 3 »
Événement B : « le chiffre sur le dé est plus petit que 2 »

Cas particulier n° 2 : A et B incompatibles et = 

On dit alors que A et B réalisent une partition de l’univers 

Exemple :
Événement A : « le chiffre sur le jeton est 2 »
Événement B  : « le chiffre sur le jeton est 1 »

 

Comme vu dans le module sur le dénombrement,
réaliser une partition d’un ensemble E
est une bonne technique pour compter tous les éléments de E
et surtout, ne pas compter deux fois un même élément.

2/ Événement contraire

Soit A  un événement de l’univers

L’événement  est l’événement contraire de A et se lit « A barre » .

Il peut également être lu comme étant l’événement « non A  », en raison de la définition de l’appartenance d’un élément à  qui est la suivante :

Soit e_i élément de  : 

Exemple n° 1 :

Événement A  : « le chiffre sur le jeton est un »

Événement  : « le chiffre sur le jeton n’est pas un »

Et comme A et font partie d’un univers où si le chiffre sur le jeton n’est pas un, il vaut 2 :
l’événement est donc égal à : « le chiffre sur le jeton est 2 »

Mais attention, dépend de l’univers dont A est une partie, car  est l’ensemble complémentaire de A dans

* Si nous sommes dans un nouvel univers où le jeton peut tomber sur la tranche qui vaut 3 alors :
l’événement devient : « le chiffre sur le jeton est égal à 2 ou 3 ».

Soit A un événement de l’univers 

Par définition de l’événement contraire : A et sont incompatibles et 
Donc A et réalisent une partition de

Par conséquent :

Ce qui comme nous allons le voir dans l’exemple suivant va être fort utile pour dénombrer A :

Exemple n° 2 :

Événement A  : « au moins un des deux chiffres est pair ».

Cet événement est long à dénombrer car il recouvre le cas où un seul chiffre sur les deux est pair et le cas où les deux chiffres sont pairs.
Conseil : Il faut acquérir le réflexe d’utiliser l’événement contraire chaque fois que la formulation d’un événement utilise la formule « au moins un »

Dénombrer ce type de cas, oblige à réaliser une partition de l’événement.

Ici la partition de A serait :
Événement A₁  : « un chiffre exactement est pair ».
Événement A₂  : « deux chiffres exactement sont pairs ».

Il est donc plus rapide d’utiliser l’événement contraire qui est :
Événement  : « il y a moins d’un chiffre pair sur les deux chiffres ».
Égal à : « aucun chiffre n’est pair » ou encore : « les deux chiffres sont impairs ».

D’où = ( 1 ; 1 ) ;( 1 ; 3 ) ;( 1 ; 5 )
card  = 3 donc card A = card - card  = 12 - 3 = 9

3/ Probabilités : cas général

Lors d’une expérience aléatoire,
la probabilité pour qu’un événement élémentaire e_i se produise est notée p(e_i)

Cette probabilité est un nombre qui ramené à un rapport sur 100,
représente le pourcentage de chance pour que l’issue e_i se produise
lors d’une réalisation de l’expérience aléatoire.

On a donc l’encadrement suivant :


Si A est un événement non élémentaire, par exemple si A = e₁ ; e₃ ; e₅
alors :

La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités
des événements élémentaires qui le composent.

En particulier : = e₁ ; e₂ ; ... e_n

Donc : p() = p(e₁₎ + p(e₂) + ... p(e_n)

Or, est un événement certain donc le pourcentage de chances pour qu’il se produise lors de la réalisation d’une expérience aléatoire est de 100.

D’où :  
Soit :

Par conséquent :

La somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1.
A l’opposé de l’univers tout entier, il y a le vide.

Or, Ø est un événement impossible donc le pourcentage de chances pour qu’il se produise
lors de la réalisation d’une expérience aléatoire est nul.

3/ Probabilités : cas d’équiprobabilité

Si quels que soient i et j : p(e_i) = p(e_j)

Autrement dit, si les événements élémentaires ont tous la même probabilité de se produire,on dit que les issues sont équiprobables, ou encore, que l’univers est équiprobable.

Or, si card = n, il y a n issues possibles et p(e₁₎ + p(e₂) + ... p(e_n) = 1
Soit dans le cas de l’équiprobabilité : n x p(e_i) = 1

D’où, quel que soit i, compris entre 1 et n :

Dans notre exemple, l’univers est équiprobable si la pièce et le dé sont équilibrés.

autrement dit, s’ils sont non truqués ou non pipés.
On a alors :

Dans le cas d’un tirage de cartes ou de boules, l’univers est équiprobable si les boules sont indiscernables au toucher et les cartes indiscernables à la vue.

Tout événement A a pour probabilité la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent, donc :

Dans le cas d’un univers équiprobable, le calcul d’une probabilité se ramènera donc à savoir dénombrer l’univers et ses sous ensembles.

Exemple :

Événement A : « un seul des deux chiffres est pair ».

Alors : A = ( 1 ; 2 ) ;( 1 ; 4 ) ;( 1 ; 6 ) ;( 2 ; 4 ) ;( 2 ; 6 )
card A = 5 card = 12

donc :

Soient A et B deux événements d’un univers

Conséquence n°1 : si A et B sont incompatibles :
Donc :

Conséquence n°2  :

Qui sera le plus souvent utilisée sous la forme : p (A) = 1 - p ( )

Conséquence n°3 : si A₁ ; A₂ ; ... ; A_n réalisent une partition de A alors :

Continuons avec notre expérience consistant à lancer un jeton et un dé.

=

A partir de l’univers que cette expérience engendre, il est possible de définir une infinité de variables aléatoires.

Exemple n° 1 :
La variable aléatoire attachée à chaque issue est égale à la somme des chiffres de l’issue.
Les valeurs possibles de la variable sont alors : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Exemple n° 2 :
La variable aléatoire attachée à chaque issue est égale au nombre de chiffres pairs de l’issue.
Les valeurs possibles de la variable sont alors : 0, 1, 2.
Attention : il n’est pas rare d’oublier le cas 0,quand on liste les valeurs possibles d’une variable aléatoire.

Une variable aléatoire est une fonction, notée X, définie sur et à valeurs dans R.

Exemple n° 1 : (a ; b) a + b

4/ Variable aléatoire : ensembles définis à l’aide de X

Soit X variable aléatoire définie sur

les valeurs possibles de la variable sont notées x_i
x₁ ; x₂ ; ... ; x_p

L’ensemble des antécédents de x_i par X est un sous-ensemble de
il s’agit donc d’un événement, qui peut être noté : [ X = x_i ] ou ( X = x_i )

Avec l’exemple n° 1 :

[ X = 4 ] : « la somme des chiffres vaut 4 »
[ X = 4 ] = ( 1 ; 3 ) ;( 2 ; 2 )

On peut également définir des événements à l’aide d’inégalités sur X :
[ X < 4 ]  : « la somme des chiffres est strictement inférieure à 4 »
Il est alors pratique de réaliser une partition d’un tel ensemble, pour le définir et le dénombrer.

Ici : [ X < 4 ] = [ X = 2 ]  [ X = 3] = ( 1 ; 1 ) U ( 1 ; 2 ) ;(2 ; 1) = ( 1 ; 1 ) ;( 1 ; 2 ) ;(2 ; 1)

A chaque événement [ X = x_i ] est associée une probabilité.

Avec l’exemple n° 1 :
[ X = 4] = ( 1 ; 3 ) ;( 2 ; 2 )

Donc, si l’univers est équiprobable :

Concrètement, définir la loi de probabilité d’une variable X, c’est  :

1° lister les valeurs possibles de la variable.
2° remplir le tableau suivant.

Loi de probabilité de X :

Par souci de simplification d’écriture, les p [ X = x_i ] sont notées p_i

De plus, comme les événements  [ X = x_i ] forment une partition de l’univers :


Il faut donc toujours vérifier si une fois le tableau de la loi de probabilité rempli, la somme de tous les pi vaut bien 1.

En effet, si l’on a été capable de calculer tous les autres, le dernier p_i peut en être déduit.

Loi de probabilité de X pour l’exemple n° 1 :

[ X = 2 ] = (1 ; 1 )

donc :

[
X = 3 ] = (1 ; 2) ; (2 ; 1)

donc :

Ainsi de suite … jusqu’à :
[ X = 8] = (2 ; 6 )

donc :

Et l’on vérifie que la somme des probabilités vaut bien 1 :

Loi de probabilité de X pour l’exemple n° 2 :

En supposant bien entendu que l’on ne se soit pas trompé dans le calcul des autres probabilités.

Rappel : dans l’exemple n° 2, X est le nombre de chiffres pairs.
Ici, les cas extrêmes sont très faciles à expliciter et à dénombrer :

Par contre, le cas du milieu est un peu long à dénombrer, donc on va utiliser le résultat sur la somme :

Par conséquent :

Loi de probabilité de X :

La moyenne des valeurs prises par X affectées de leurs probabilités :

est la valeur moyenne que l’on peut espérer pour X lors de la réalisation d’une expérience.

Cette moyenne est donc aussi appelée, espérance de X et notée E(X).

Reprenons l’exemple n° 2 et créons un jeu d’argent à partir de cette expérience :

- la mise est de 10 €.
- si le joueur n’obtient aucun nombre pair, il gagne 15 €
- si le joueur obtient un unique nombre pair, il perd sa mise.
- si le joueur obtient deux nombres pairs, il gagne 20 €.

Soit G la variable aléatoire qui représente le gain algébrique, c’est à dire le gain, moins la mise de départ.

Les valeurs possibles de la variable G sont : +5, -10 et +10.

Nous pouvons évidemment déduire de la loi de probabilité de X, comptant les nombres pairs, la loi de probabilité de G :

 

Si E(G) < 0 , le jeu est dit défavorable au joueur. Il est alors évidemment favorable à l’organisateur du jeu.
Si E(G) = 0 , le jeu est dit équitable.
Si E(G) > 0 , le jeu est dit favorable au joueur.

Pour récupérer l’écart moyen, il faut alors prendre la racine de la variance.
Ce résultat est appelé l’écart type de X et noté avec un petit sigma.
Si cet écart est faible en pourcentage par rapport à E(X) alors la valeur de E(X) a un sens.

Sur l’exemple n° 2, transformé en jeu :

Alors que l’espérance est de -1,25

Ce qui signifie qu’ici la valeur de l’espérance n’a pas beaucoup de sens, sinon celui d’inciter le joueur à ne pas jouer, le jeu lui étant défavorable.

Cette hypothèse est pertinente car le jeu étant de pur hasard,on voit mal comment il pourrait s’améliorer d’une partie à l’autre