Etude de la fonction exponentielle

Cours maths Terminale S

Etude de la fonction exponentielle :
Après un bref rappel des résultats vus dans le module de définition de la fonction exponentielle, nous menons l’étude approfondie de cette nouvelle fonction.
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1/ Rappels

Définition :
La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R qui a pour dérivée elle-même et qui prend la valeur 1 en 0.
D’un point de vue pratique,
cette définition et les premiers résultats qui en découlent peuvent être résumés ainsi :

La fonction exponentielle, notée exp :
- est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R.
- pour tout x : exp' (x) =  exp (x)
- pour tout x :  exp (x) > 0
- exp (0) = 1
ces résultats ont été vus en détail dans le premier module de traitant la fonction exponentielle.
Le nombre exp(1) étant noté e,
la fonction exponentielle peut alors s’écrire sous la forme d’une puissance :

Et grâce à cette notation, il devient simple de retenir ses propriétés algébriques, puisqu’elles sont les mêmes que celles d’une puissance :


Quels que soient a et b réels :

  Il est également important de connaître une valeur approchée de e

La fonction exponentielle réalise une bijection de
R sur ] 0 ; [

Cela signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x).

On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x).

Cette fonction, donc définie sur 
] 0 ; [ et à valeurs dans R est appelée :
fonction logarithme népérien et notée ln.
fonction logarithme népérien et notée ln.

Se lit  : « L » « N » de y.

Tout nombre réel y strictement positif peut donc s’écrire sous forme exponentielle :
y = esp (x)  avec  x = ln y

Autrement dit :

Tout nombre réel y > 0 peut s’écrire :  y = eln y

Il faut également connaître les deux propriétés qui permettent de résoudre équations et inéquations :
* Quels que soient a et b réels :  ea = eb ⇔  a = b
* Quels que soient a et b réels :  ea < eb ⇔  a < b
2 / Etude de la fonction exponentielle

Nous savons que la fonction exponentielle est strictement croissante sur
R.

Pour dresser son tableau de variations complet, il ne nous reste donc qu’à trouver ses limites aux bornes.

Montrons dans un premier temps la propriété suivante :
Pour tout réel x :  ex > x
Ce qui signifie graphiquement que la courbe de la fonction exponentielle est toujours au dessus de la première bissectrice.

Démonstration
Pour x < 0, la fonction exponentielle étant strictement positive, on a de façon évidente :
ex > x

Soit la fonction h définie sur
[ 0 ; [ par :  h (x) = ex - x
Par addition, h est dérivable sur   [ 0 ; [  et :  h'(x) = ex - 1
Or, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R : x > 0 ⇒ ex > e0

Soit :  
ex > 1    La fonction h est donc croissante sur  [ 0 ; [
D’où  x > 0 ⇒ h(x) > h(0)      Or  h(0) = e0 - 0 = 1
Donc, pour  x > 0 : ex - x  > 1  , soit :  ex - x > 0.

Par conséquent : si 
x > 0 alors :  ex > 0

Pour tout réel x :
ex > x
Remarque :
pour appliquer le théorème de comparaison, avoir cette inégalité seulement pour les réels positifs suffisait.


Or   
Donc, d’après les théorèmes de comparaison : 
Pour trouver   posons le changement de variable :  X = -x
On a alors : x = -X    d’où :

     
D’où : 
Donc : 


D’où le tableau complet de variations de la fonction exponentielle :

 tableau complet de variations de la fonction exponentielle
avec 0 et 1 comme valeurs de référence ajoutées
3/ Tracé de la fonction exponentielle

Tracé de la fonction exponentielleÀ l’aide des nombres dérivées
en nos deux valeurs de référence,
nous pouvons tracer les tangentes à la courbe en 0 et 1.
exp'(0) = e0 = 1
Tracé de la fonction exponentielle


  



exp'(1) = e1 = e
Donc
la tangente au point d’abscisse 1

a pour équation : y = ex + b
Le point de tangence a pour coordonnées :
A ( 1 ; e )
D’où :    e = e
x 1 + b     Donc b = 0.

La tangente
en 1 passe donc par l’origine.
  
  
Comme    , l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en
Et la fonction exponentielle étant strictement positive, sa courbe est toujours au dessus de l’axe.


4/ Fonction exponentielle au voisinage de 0

Intéressons-nous au nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 :
Par définition du nombre dérivé : exp'(0) = 
Soit :          Or  exp' (0) = e0 =1
D’où : 
Remarque :
ce résultat est à retenir, ce qui n’est pas très difficile si l’on sait que pour le retrouver, il suffit d’utiliser la définition du nombre dérivé en 0 appliqué à la fonction exponentielle.



En utilisant le nombre dérivé, il est également possible de trouver une approximation affine de la fonction exponentielle en 0 : 

pour h assez proche de 0 : 
exp (0 + h) ≈ exp(0) + exp'(0) x h
D’où :  exp(h) 1 + h

Une approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0 est donc :
exp(x) x + 1  pour x proche de 0.
Interprétation graphique :
la courbe de la fonction exponentielle et sa tangente en 0 se confondent au voisinage de 0.

5/ Croissances comparées

D’autres résultats sur les limites, liés à la fonction exponentielle sont également à connaître.

Ils permettent de trouver les limites de fonctions mélangeant polynômes et exponentielle.
Le premier de ces résultats est le suivant :  
Démonstration :
Soit la fonction h définie sur
R par :
Par addition, h est dérivable sur R et :  h(x) = ex - x
Or, nous avons montré plus haut que pour tout réel x :  ex > x    Donc  h'(x) > 0

La fonction h est donc strictement croissante sur
R.
D’où : x > 0 ⇒ h(x) > h(0)           Or  h(0) = e0 - 0 = 1
Donc, pour  x > 0  , soit     . 
Par conséquent : si  x > 0 alors : 
D’où : si x > 0 alors :  
Or :    , donc d’après les théorèmes de comparaison : 



Le second de ces résultats est le suivant :  
Il se déduit du premier en opérant un changement de variable :
Posons  X = -x
On a alors : x = -X       d’où :   
  
D’où : 

En résumé, les deux nouveaux résultats sur les limites, à connaître sont :
        
Une méthode simple pour retenir ces deux Formes Indéterminées
est de se dire que dans les deux cas,
la limite serait la même si on remplaçait x par 1.

En  , cette méthode se comprend en se disant que la fonction exponentielle croit « infiniment » plus vite que la fonction qui à x associe x.

Comparée à l’exponentielle, cette fonction est alors aussi négligeable que si elle valait 1.

On dit alors que :

la fonction exponentielle l’emporte sur la fonction qui à x associe x en l’infini et en zéro.

Remarque :
la fonction qui à x associe x est appelée fonction identité.


6/ Dérivée de fonctions composées

Exemple :
Soit la fonction f définie sur
R par : 
Dérivée de fonctions composées
u en tant que fonction polynôme est dérivable sur
R

La fonction exponentielle est dérivable sur
R donc sur u(R).
Par composition, f est dérivable sur
R
Et pour tout réel x : f ' (x) = (6x - 5) x ex = (6x -5)
Cas général :
Si u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I
alors la fonction f définie par :  f (x) = eu(x)
est définie, dérivable sur I et pour tout x de I :  f ' (x) = u' (x) x eu(x)

formule que l’on peut énoncer plus rapidement sous la forme :  (eu)' = u'e

         Cours complémentaires :

► Fonction exponentielle
► Fonction logarithme
► Etude de la fonction logarithme
► Sommaire cours maths Terminale S

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