Equations de plans

 
 
1/ Définition(s) d’un plan de l’espace

Par deux points distincts A et B passe une unique droite, appelée la droite (AB).


Par ces deux points passent une infinité de plans, qui ont en commun la droite (AB).


On peut imaginer ces plans, pivotant autour de la droite (AB).


Pour fixer le plan pivotant autour de (AB), il faut choisir un point C extérieur à (AB).
 

Définition n° 1 d’un plan :
 
Il existe un unique plan passant par 3 points non alignés A, B et C. 

D’un point de vue pratique :

3 points de l’espace définissent un plan si et seulement si ces 3 points ne sont pas alignés.

Pour prouver que les points A, B et C ne sont pas alignés, il suffit de montrer, par exemple, que les vecteurs  et ne sont pas colinéaires.

Une droite du plan peut être définie par la donnée de deux points distincts ou par la donnée d’un point et d’une direction.

De même, un plan de l’espace peut être défini par la donnée de 3 points non alignés ou par la donnée d’un point et d’une direction.

Cette direction peut notamment être définie par la donnée de deux vecteurs non colinéaires.

Définition n°2 d’un plan : 

Un plan est entièrement défini par la donnée d’un point A de l’espace et de deux vecteurs non colinéaires.
On dit que  est un couple de vecteurs directeurs du plan (P).

Alors, pour tout point M de (P), il existe un couple unique de réels ( k ; k ‘) tel que : 

Réciproquement : 
S’il existe un couple de réels ( k ; k’ ) tels que :  alors M appartient au plan (P).

On a donc : M  (P) si et seulement si il existe un couple ( k , k’ ) tel que 

Si l’espace est muni d’un repère orthonormé et si  et  alors : 

Théorème :
Les vecteurs , et  sont coplanaires si et seulement si l’un des vecteurs peut s’écrire comme une combinaison linéaire des deux autres.

Par exemple, s’il existe un couple de réels ( k ; k’ ) tel que : 
alors ces 3 vecteurs sont coplanaires.

Théorème :
Si deux plans sont orthogonaux à une même droite alors ces plans sont parallèles entre eux.

Une direction de plan peut donc être définie par orthogonalité à une droite donnée,ou encore par orthogonalité à un vecteur donné.
En terme de vecteur, on ne parle alors plus de vecteur directeur mais de vecteur normal.

Définition n°3 d’un plan :

Un plan est entièrement défini par la donnée d’un point A de l’espace et d’un vecteur normal.
Ou encore, il existe un unique plan passant par un point donné et orthogonal à une droite donnée.

2/ Équation cartésienne d’un plan

Soit le plan (P) passant par le point A et de vecteur normal .

On a alors : 
D’où, si l’espace est rapporté à un repère orthonormé
et si  et  alors : 

Théorème :

Si  est un vecteur normal au plan (P) alors (P) a une équation cartésienne du type : 
 .
Cette équation est appelée équation cartésienne du plan (P).

Théorème :
Si est un vecteur normal au plan (P) alors (P) a une équation cartésienne du type :

Reciproque : 

SI (P) a une équation cartésienne du type :  alors le vecteur  est un vecteur normal au plan (P).

Exemple de recherche de l’équation cartésienne d’un plan : 

Soit le plan (P) passant par A ( 1 ; 2 ; -3 ) et de vecteur normal 

(P) a une équation cartésienne du type : .

Et A ( 1 ; 2 ; -3 ) (P) donc : 

D’où l’équation cartésienne de (P) : 

On peut également utiliser le produit scalaire, comme vu à la diapositive précédente :

3/ Notion de demi-espace

Théorème  :

Soit (P) plan de l’espace d’équation cartésienne :  
et soit A un point de l’espace tel que :  .
Alors, l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) de l’espace tels que :
est le demi-espace ouvert de frontière (P) contenant A.
De même, l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) de l’espace tels que : 
est le demi-espace ouvert de frontière (P) ne contenant pas A.

Exemple :
Le plan (ABC) a pour équation cartésienne : 

Donc, l’ensemble des points M (x ; y ; z ) tels que : est le demi-espace ouvert de frontière (ABC) contenant O.

4/ Position relative de deux plans

De même que dans le plan, deux droites sont parallèles ou sécantes, dans l’espace, deux plans sont parallèles ou sécants.

Deux plans sont parallèles s’ils ont la même direction.

Or, comme nous l’avons vu, une direction de plan peut être donnée par un vecteur normal.

Théorème
Deux plans sont parallèles si et seulement si ils possèdent deux vecteurs normaux colinéaires.

Exemple

Soit (P) d’équation cartésienne :
Et soit (Q) d’équation cartésienne :
(P) a pour vecteur normal : 
Et (Q) a pour vecteur normal : 
donc (P) et (Q) sont parallèles.

Pour savoir si ces deux plans sont parallèles confondus, il faut simplifier les deux équations, de sorte à avoir les 3 premiers coefficients identiques :
On ne touche pas à l’équation de (P) :
On divise par (-2) l’équation de (Q) :

Les deux derniers coefficients sont différents, il s’agit donc de deux équations différentes.

Les plans (P) et (Q) sont donc strictement parallèles.

On peut également le justifier de la façon suivante :

Par exemple : le point A ( 0 ;-5 ;0 ) appartient à (P).
Or :donc A n’appartient pas à (Q).
Les plans ne peuvent donc être confondus.

Cas particulier : 

 
 
 
deux plans sécants peuvent être orthogonaux.
Ces plans n’étant pas parallèles, ils sont sécants.
 
 
On peut donc également les qualifier de plans perpendiculaires.

Théorème
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

En pratique, il suffira donc de montrer que :

Cas n° 1 : (d) est parallèle à (P).

C’est le cas si (d) est parallèle à une droite (d’) de (P).

Tout vecteur directeur de (d) est alors un vecteur directeur de (P) et se trouve donc orthogonal au vecteur normal de (P).

Pour montrer (d) // (P), il suffit donc de montrer
qu’un vecteur directeur de (d) est orthogonal à un vecteur normal  de (P).

Deux cas de parallélisme sont possibles :
1° (d) est strictement parallèle à (P), auquel cas : Ø.
2° (d) est incluse dans (P), auquel cas : (d)

En montrant, par exemple, que leur produit scalaire est nul.

Réciproquement :Si (d) // (P) alors :

tout vecteur normal à (P) est orthogonal
à tout vecteur directeur de (d).

deux cas de parallélisme sont possibles :
1) (d) est strictement parallèle à (P), auquel cas :
2) (d) est incluse dans (P), auquel cas :  .

Remarque pratique :
Il existe plusieurs façons de montrer qu’une droite (d) est incluse dans un plan (P).

C’est le cas si (d) n’est pas parallèle à (P).

Attention !
Si (d) est incluse dans (P), on ne dira donc pas que (d) est sécante à (P).
(d) est sécante à (P) si et seulement si l’intersection de (d) et de (P) est un point.

Pour montrer (d) est sécante à (P), il suffit de montrer que (d) n’est pas parallèle à (P).
Autrement dit que  vecteur directeur de (d) n’est pas orthogonal à  vecteur normal de (P).

Cas particulier : (d) est orthogonale à (P).

La définition géométrique de l’orthogonalité d’une droite par rapport à un plan a été vue dans le module traitant du produit scalaire et de l’orthogonalité.

Limitons nous donc ici à l’aspect pratique, à savoir :

Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors :

tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).

Ceci reposant sur le fait que :
Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre.

Définition

Soit un plan (P) et soit un point A.

On appelle distance du point A au plan (P) la plus petite distance entre un point M du plan (P) et le point A.

On la note : d ( A ; (P)).

Théorème :
d ( A ; ( P ) ) = AH où H est le projété orthogonal de A sur ( P ).

 

En effet, d’après le théorème de Pythagore, pour tout M de (D) : 


Théorème : 
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé : la distance du point A au plan ( P ) d’équation cartésienne : ax + by + cz + d = 0 est : 

 

- en nominateur : Valeur absolue de « l’équation de (P) » appliquée au point A.
- en dénominateur : Norme du vecteur normal de coordonnées ( a ; b ; c ).

C’est le cas si la distance deà (P) est strictement supérieure à R.
 
 
On a donc :

 
 

L’intersection entre (S) et (P) se réduit alors à un point unique.

Ce point étant le projeté orthogonal H de sur (P).

C’est le cas si la distance de (P) est égale à R.

On a donc :

C’est le cas si la distance deà (P)
est strictement inférieure à R.

On a donc :
Le cercle d’intersection (C) a alors pour centre H, projeté orthogonal de sur (P).

Pour trouver son rayon, il suffit d’utiliser le théorème de Pythagore :
 étant égale à la distance de  à (P).