Equations différentielles

Cours maths Terminale S

Equations différentielles :
Dans ce module très lié à la notion de fonction exponentielle, nous découvrons un nouveau type d’équations : les équations différentielles.
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1/ Notion d’équation différentielle

Exemple d'équation différentielle:

Soit I un intervalle de R.

Et soit l’équation (E) :  y' = 3y - 5

Résoudre cette équation sur l’intervalle I,
c’est chercher toutes les fonctions f dérivables sur I et  vérifiant pour tout x de I :   f ' (x)= 3f (x) - 5

Une telle équation, liant une fonction et sa ou ses dérivées est appelée équation différentielle.

Remarques :
1)   Ici, comme seule la dérivée première intervient, l'équation est dite de premier ordre ou d’ordre 1.

2)   Plutôt que d’écrire l’équation :  f ' (x)= 3f (x) - 5 , on note f (x) à l’aide de la variable y, qui joue le rôle d’inconnue, ou plutôt de « fonction inconnue ».

Ceci car un point ( x ; y ) appartient à la courbe de f si et seulement si y = f (x)
y étant la variable utilisée pour les ordonnées et les images, il est cohérent de l’utiliser pour symboliser une fonction.

2/ Equation différentielle du type : y’ = ay

Théorème de l'équation différentielle : soit a un nombre réel.
Les solutions sur R de l’équation différentielle : y' = ay
sont les fonctions f définies sur R par : f (x) = Ceax où C désigne une constante réelle.
Démonstration de l'équation différentielle :

sens réciproque de l'équation différentielle :
Soit f fonction définie sur R s’écrivant : f (x) = Ceax où C désigne un réel constant.
Alors, pour tout réel x :  f ' (x) = Caeax = af (x)
Donc f est une solution sur R de l’équation.

sens direct de l'équation différentielle :
Soit f solution de y’ = ay sur R .
Alors, pour tout réel x : f ' (x) = af (x)

Soit la fonction g définie sur R par :  g(x) = f (x) x e-ax
Pour tout réel x : g' (x) = f ' (x) x e-ax + f (x)(-ae-ax) = af (x) x e-ax + f (x) (-ae-ax) = 0

La dérivée de g est nulle sur R donc g est une fonction constante, que l’on peut noter C.
Par conséquent, pour tout réel x :  C = f (x) x e-ax   . D’où :  f (x) = Ceax

Conclusion :
f est solution de l’équation si et seulement si elle s’écrit 
f (x) = Ceax


Exemple :
Soit l’équation (E) : y' + 5y = 0
Par une manipulation, on se ramène à notre équation de référence :    y' = -5y
Les solutions de (E) sur R sont donc les fonctions f définies par f (x) = Ce-5x  . Avec  CR
3/ Equation différentielle du type : y’=ay+b

Théorème  de l'équation différentielle : soient a et b deux nombres réels, avec a non nul.

Les solutions sur R de l’équation différentielle : y' = ay +b
sont les fonctions f définies sur R par :  f (x) = Ceax - où C désigne une constante réelle.
Remarque :
Le type d’équation étudié précédemment correspond au cas particulier b = 0.


Démonstration :

Sens réciproque de l'équation différentielle :
Soit f fonction définie sur R s’écrivant : f (x) = Ceax - où C désigne un réel constant.
Alors, pour tout réel x :  f ' (x) = Caeax    Or   af (x) + b = aCeax - b + b = aCeax
Donc, pour tout réel x : f ' (x) = af (x) +b , f est solution de l’équation.

La démonstration du sens direct utilise, elle, un type de raisonnement
que l’on retrouvera dans la plupart des exercices sur les équations différentielles

sens direct de l'équation différentielle:

L’idée est de se ramener à un type d’équation que l’on sait résoudre en s’appuyant sur une solution particulière de l’équation que l’on veut résoudre.
on retrouve la même idée en arithmétique lors de la résolution d’équations Diophantiennes.

Soit g définie sur R par :   g (x) = -
Pour tout réel x : g' (x) = 0   Or, quel que soit x réel :   ag (x) + b = a (- ) + b = 0
Donc, pour tout réel x : g
La fonction g est donc une solution particulière de l’équation ( E ) : y’ = ay +b.

Soit f solution quelconque de ( E )

Or, si nous notons (f - g) la fonction qui est la différence des fonctions f et g, alors, pour tout x : (f - g)’(x) = f ’(x) - g’(x).

Par conséquent, pour tout réel x : (f - g)' (x) = a(f - g)(x)


La fonction (
f - g) est donc solution de l’équation différentielle (E’) : y’=ay.
Or, nous savons que les solutions de ce type d’équation s’écrivent :  x → Ceax
Par conséquent, il existe C réel, tel que pour tout x : (f - g)' (x) = Ceax

D’où :   f (x) - g (x) =
Ceax
Soit, pour tout x :  f (x) = Ceax + g(x) = Ceax -
Conclusion :
f est solution de l’équation si et seulement si elle s’écrit :   f (x) = Ceax  -
Exemple :
Soit l’équation (E) : y ' + 3 = -2y
Par une manipulation, on se ramène à notre équation de référence : y ' = -2y - 3
Les solutions de (E) sur R sont donc les fonctions f définies par :
avec C R.
Ce sont donc les fonctions : 
4/ Solution particulière

Reprenons notre dernier exemple :

L’équation différentielle (E) :  y ' + 3 = -2y  , a une infinité de solutions.
Ce sont toutes les fonctions du type : 

Voyons maintenant quel est le nombre de solutions, si nous imposons à toute solution f de (E) de vérifier en prime la condition : f (0)=1.


Il existe donc une unique solution de (E) vérifiant la condition imposée, il s’agit de f définie par : 

Théorème : soient a et b deux nombres réels, avec a non nul.
(x0 ; y0)   étant un couple de réels donnés.
L’équation différentielle (E) : y ' = ay + b admet une unique solution sur R vérifiant : f (x0) = y0

Démonstration :

Il existe donc une unique solution de (E) vérifiant la condition imposée.

Remarque :
Pour des raisons liées à l’utilisation fréquente des équations différentielles en physique, cette condition est souvent appelée condition initiale.

Elle donne la valeur de fonctions comme la vitesse ou l’accélération à l’instant 0.


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