Droites et plans de l’espace

 
 Propriété 2

 Etant donnés trois points A , B et C non alignés, il existe un plan et un seul noté (ABC), contenant
ces trois points.
 
 
Définition

 Quatre points A , B , C et D de l’espace sont dits coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.

Détermination d’un plan 
 
Un plan est déterminé par l’une des quatre situations suivantes :
 
 
►Trois points non alignés                          ► Deux droites sécantes 

Position relative de deux plans
 
Deux plans  de l’espace sont : 
 
► Soit sécants suivants une droite D 

Propriété

1) Si deux plans distincts ont au moins un point commun, alors ils sont sécants.
2) Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux  :
 si  et  alors

3) Si  sont parallèles et si  alors

sont parallèles :
 
 si  et  alors

 (transitivité de la notion du parallélisme) 

Position relative d’une droite et d’un plan

► La droite D et le plan P sont sécants

Méthode

• La droite D est strictement parallèle au plan P

 

Propriétés

Propriété 1

Si une droite D contient deux points A et B d’un plan P, alors la droite D
est incluse dans ce plan.

Propriété 2

Pour qu’une droite soit parallèle à un plan, il Faut et il suffit qu’elle soit parallèle à une droite.

Propriété

Pour que deux plans soient parallèles il suffit que l’un des deux continue deux droites sécantes parallèles à l’autre.

Remarques

Attention !

 Deux plans parallèles à une même droite ne sont pas obligatoirement parallèles entre eux.

Position relative d’une droite et d’un plan

Deux droites de l’espace sont :
 - soit coplanaires : elles sont alors parallèles ou sécants ,
 - soit non coplanaires : elles ne sont ni parallèles ni sécants.

 et  sont coplanaires 

 et sont non coplanaires 

Propriété

Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
2) Si  est parallèles à et est parallèle à 
  alors est parallèle à


Règles d’incidence

Propriété

Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites intersection sont parallèles entre elles.

Propriété

Si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à deux droites sécantes d’un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.  

Théorème

Soient P et P’ deux plans de l’espace sécants suivant une droite  . Si une droite de P est parallèle à une droite D’ de P’ , alors est parallèle
à D et D’.

Orthogonalité de deux droites

Deux droites et sont dites orthogonales si l’une des parallèles à coupe perpendiculairement 

et  sont perpendiculaires

Remarque

Les deux mots « orthogonal » et « perpendiculaire » ne sont pas synonymes.

Deux droites sont dites perpendiculaires lorsqu’elles sont sécantes, donc coplanaires et se coupent suivant un angle droit.

Exemples

Orthogonalité d’une droite et d’un plan

Définition

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.

Propriété

Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan alors elles sont parallèles.

Plan médiateur 


Définition

Le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaires à ce segment en son milieu.

Caractérisation du plan médiateur

Le plan médiateur d’un segment [AB] est l’ensemble des Points équidistants de A et de B.