Droites parallèles et perpendiculaires

Cours maths 6ème
Droites parallèles et perpendiculaires :

Après avoir défini les droites parallèles et les droites perpendiculaires, on montre comment utiliser les propriétés des droites parallèles et des droites perpendiculaires pour démontrer que deux droites sont parallèles ou perpendiculaires. On apprend également à tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée.
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Droites parallèles

 
 
Définition : Deux droites distinctes sont dites parallèles si elles n’ont aucun point en commun.
 
 
 
 
 
 
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
 
 
On note (d) // (d)
 
 
 
 
 
 
 
Remarque : Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes.
 
 
 
 
Attention : Deux droites qui ne se coupent pas sur une figure, ne sont pas forcément parallèles.
 
Sur cette figure, apparemment les deux droites (d1) et (d2) ne se coupent pas.
 
 
Il faut imaginer leur prolongement.
 
Les deux droites (d1) et (d2) se coupent en un point M qui n’était pas sur la figure initiale.
Elles ne sont donc pas parallèles, elles sont sécantes.

 
 
 

Droites perpendiculaires

 
 
Définition : Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant un angle droit.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires.
 
 
On note (d1) (d2)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Propriété

 
Propriété 1 : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

 
 
 
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles :
(d1) // (d2)
 
La droite (d) est perpendiculaire à la droite (d1) :
(d) (d1)
 
Donc (d) est aussi perpendiculaire à la droite (d2) :
(d) (d2)
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriété 2 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles.
 
 
 
 
 
Les droites (d1) et (d2) sont
perpendiculaires à la droite (d) :
(d) (d1) et (d) (d2)
 
Les droites (d1) et (d2) sont
donc parallèles : (d1) // (d2)
 
 
 
 
 
 
 
Propriété 3 : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
 
 
 
 
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles :
(d1) // (d2)

 
La droite (d) est parallèle à la droite (d1)  :
(d) // (d1)

 
Donc la droite (d) est parallèle à la droite (d2) :
(d) // (d2)
 
 
 
 
 
 

Application : tracer une perpendiculaire

 
 
Nous allons voir comment tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point.
 
On se donne une droite (d) et un point A.
 
Comment faire pour tracer la droite (d’) perpendiculaire à la droite (d) et passant par A ?
 
Pour cela on utilise une équerre.
On place un des bords de l’angle droit de l’équerre sur (d) et l’autre sur A. On commence le tracé de la droite (d’) ...
 
On prolonge ensuite avec une règle pour obtenir la droite (d') en entier.
 
 
 
 

Application : tracer une parallèle

 
 
Nous allons voir maintenant comment tracer la parallèle à une droite passant par un point.
 
On se donne une droite (d) et un point A.
 
On peut tracer une seule droite parallèle à la droite (d) et passant par A. Comment faire ?
 
Pour cela, il faut une règle et une équerre. On place un des bords de l’angle droit de l’équerre sur (d). On place la règle contre l’autre bord de l’angle droit de l’équerre.
 
Sans bouger la règle, on fait glisser l’équerre le long de la règle jusqu’au point A. On trace la droite (d’). La droite (d’) passe par le point A.
 
Les droites (d) et  (d’) sont toutes les deux perpendiculaires au bord de la règle donc elles sont parallèles.
 
 
 
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