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Dérivation - Application
Cours maths 1ère S
Dérivation - Application : Dérivation - Application |
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Dérivation : applications
La notion de dérivée a de nombreuses applications.
Nous allons en voir quelques unes.
La première d’entre elles, sinon la plus importante, est l’application à l’étude des variations d’une fonction et à la recherche de ses extrema.
Application à l’étude des variations d’une fonction
Du sens de variation au signe de la dérivée
Propriété
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle • Si
est croissante sur 
, alors 
est positive ou nulle sur . • Si
est décroissante sur , alors est négative ou nulle sur .• Si
est constante sur , alors est nulle sur .Démonstration
Du signe de la dérivée au sens de variation
Théorème de la monotonie (admis)
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle .►Si, pour tout
, 
, alors est croissante sur .►Si, pour
, 
, alors est décroissante sur ►Si, pour tout
, 
, alors est constante sur Exemple
Le sens de variation d’une fonction dérivable est donné par le signe de sa dérivée.
Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, on calcule donc sa dérivée, puis on détermine le signe de la dérivée et on dresse le tableau de signe de la dérivée et le tableau de variations de la fonction.
Soit f une fonction définie sur l’intervalle
et soit 
On dit que f admet un maximum local en a s’il existe un intervalle ouvert
tel que 
et tel que ,pour tout 
on ait 
On dit que f admet un minimum local en a s’il existe un intervalle ouvert
tel que et tel que ,pour tout on ait 
Un extremum local est soit un maximum local ,ou soit un minimum local.
Extrama locaux
Fonctions dérivables et extremaPropriété
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle
.Si la fonction admet un extremum ou un extremum local en un point a et si a n’est pas une borne de
, alors 
Démonstration
Exemple
Remarque
L’utilisation de la dérivée peut permettre de trouver dans certains cas des limites qui sont des formes indéterminées. Exemple
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