La démonstration en géométrie

Cours maths 4ème

La démonstration en géométrie :

Le premier objectif est de faire comprendre à l’élève le sens des théorèmes qu’il utilise et de faciliter leur utilisation. Le deuxième est d’amener l’élève à une compréhension des critères d’une démonstration valide afin qu’il prenne en charge la vérification et l’écriture rigoureuse de celle-ci.
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Introduction à la démonstration en géométrie

 
 
Qu’est-ce qu’une démonstration mathématique ?
 
Nous pouvons dire qu’une démonstration (ou preuve) mathématique est un raisonnement logique qui utilise des résultats théoriques (propriétés, théorèmes, formules, …) déjà établis pour parvenir pas à pas à une conclusion que personne ne pourra contester.
 
 
Exemple :
 

I)  Que peut-on dire de ce dessin à main levée ?
 
Ce dessin représente un quadrilatère ABCD.
Le codage nous montre que I est le milieu des diagonales [AC] et [BD] de ce quadrilatère.
 
II) Ces observations font appel à quelle propriété ?
 
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu,
alors c’est un parallélogramme.
 
III) Que peut-on conclure ?
 
On peut conclure que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
 
 
 

Méthode de démonstration en géométrie :

 
 
Pour chercher une démonstration, il faut partir des données de l’énoncé et essayer d’en déduire, grâce à des propriétés, des conclusions.
 
Exemple :
 
MNOP est un quadrilatère tel que : (MN) // (OP) et (NO) // (PM).
Que peut-on dire de ce quadrilatère ? Justifier.
 
 
(NO) // (PM)
(MN) // (OP)

 
 
 
 
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c’est un parallélogramme.
 
 
 
 
Conclusion :
  On peut affirmer que  le quadrilatère MNOP est un parallélogramme.
 
 
 
 
 
Remarques
 
 
1) Dans la première étape, il est important de bien identifier la situation en se posant les questions suivantes :
a)  Avec quelle(s) figure(s) je travaille ?
b)  Y a-t-il des objets géométriques importants (droites, points,       
           segments, …) ?
c)  Quelles sont les données qui pourront être utiles ?
2) Comme nous l’avons vu précédemment, la deuxième étape doit faire le lien entre les données utiles et la conclusion. Il faut la formuler de façon très rigoureuse avec des termes précis; par exemple : « si … alors … » , « … revient à dire que … » , « … si et seulement si … ».  
 
Lorsqu’il s’agit de faire appel à des théorèmes connus, on pourra seulement mentionner leurs noms (sans faire de faute d’orthographe !). Par exemple : « D’après le théorème de Pythagore … », « Le théorème de Thalès nous permet d’écrire … » , …
 
3)  Dans une démonstration, il n’est pas recommandé de dire « je vois sur la figure que… » ou bien « j’ai vérifié avec mon compas que … » car ce vocabulaire est du domaine de l’observation. On utilisera plutôt des termes du type : « on sait que » , « car »  , « puisque » , « or » , « comme » , …
 
         Cours complémentaires :

► Distance d'un point à une droite
► Théorème des milieux
► Théorème de Thalès
► Théorème de Pythagore
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