Convergence des suites

Cours maths Terminale S

Convergence des suites :
Dans ce module consacré à l’étude de la convergence d’une suite, on commence par redéfinir rigoureusement la notion de limite finie d’une suite. Ensuite, les théorèmes de convergence monotone et le théorème des gendarmes ; Le cours se termine par la révision et la démonstration des résultats de convergence.
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1/ Limite finie d’une suite : définition

Définition :

La suite (un) admet le réel pour limite si :
Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On dit alors que la suite est convergente.

Remarque :
Une suite n’admettant de limite qu’en , on pourra simplifier la notation   en :  lim
un.

On a donc (
un) converge vers ⇔ lim un avec nombre réel fini.
« fini » signifie que cette limite ne vaut ni
, ni 

Une suite qui ne converge pas est dite
divergente.

1.1 / Limite finie d’une suite : propriétés

Etudier la convergence d’une suite, c’est donc chercher sa limite et  déterminer en fonction du résultat si la suite converge ou diverge.

Attention !
Une suite divergente ne tend pas forcément vers l’infini.
Exemple :  un = (-1)n oscille et n’a de limite ni finie, ni infinie.

Propriétés :
1° la limite finie d’une suite lorsqu’elle existe est unique.
2° une suite qui converge est bornée.
Et conséquence de 2°, en utilisant sa contraposée :
3° si une suite n’est pas bornée alors elle diverge.
Car d’après 2° :si elle convergeait, elle serait bornée.

Remarque :
la réciproque du 2° est fausse.
En effet, si nous reprenons l’exemple du dessus : -1 <
un < 1 ; Et pourtant la suite diverge.
2/ Théorèmes de convergence
Théorèmes de convergence monotone :
* Si (un) est croissante et majorée alors (un) converge.
La suite « monte » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.
* Si (un) est décroissante et minorée alors (un) converge.
La suite « descend » mais est bloquée par « un mur » donc elle possède une limite finie.

Remarque :
Savoir que la suite converge ne donne en rien sa limite mais permet dans certains cas d’appliquer des théorèmes qui permettent de la calculer.

C’est la cas notamment pour une suite définie par récurrence, cas que nous étudierons dans la suite de ce module.


Attention !
Si (
un) est croissante et majorée par exemple par 2 alors (un) converge mais ne converge pas forcément vers 2.

Les théorèmes suivants vont cependant nous permettre d’avoir des renseignements sur la localisation de la limite :

Soit (
un) une suite de nombres réels convergente.
Si pour tout n, ou si à partir d’un certain rang : un < M
alors :  lim un < M
Attention !
Il est à noter que même si tous les termes de la suite sont strictement inférieurs à M, la limite de la suite peut, elle, être égale à M.

En effet, si par exemple :    alors, pour tout n non nul :
un < 0 or : lim un = 0
Si pour tout n, ou si à partir d’un certain rang : un > m 
alors : lim un < m
et conséquence des deux théorèmes :
Si pour tout n, ou si à partir d’un certain rang :  m < un < M
alors : m < lim un < M

Remarque:
Ces résultats sont en particuliers utiles dans la recherche de la limite L d’une suite définie par récurrence, et souvent nécessaires pour savoir si l’on peut appliquer le théorème donnant f (L)=L.


Théorème des gendarmes :
* Si pour tout n : vn < un < wn et si (vn) et (wn) convergent vers alors : (un)
converge vers


Ce théorème est également valable si l’encadrement n’est vrai qu’à partir d’un certain rang.


Attention !

Beaucoup d’élèves commettent l’erreur suivante :
Théorème des gendarmes
Contre exemple :
et   or: lim (-n2) =
Par contre, et ce qui est souvent le cas dans des exercices de BAC :

Si on sait de plus que la suite est à termes positifs alors :
pour tout n : 0
< un < wn  et lim o = lim wn = 0
« 0 » symbolisant ici le terme général de la suite constante nulle.

Donc d’après le Théorème des gendarmes : lim
un = 0

Théorème des gendarmes avec valeur absolue
* Si pour tout n :   et si lim vn = 0 alors : (un) converge vers

Ce théorème est également valable si l’encadrement n’est vrai qu’à partir d’un certain rang.

Démonstration :
* Si pour tout n :    Alors : - vn < un - < vn
Or : lim (-vn) = lim vn = 0
Donc d’après le théorème des gendarmes : lim (un -) = 0
D’où : lim un =
3/ Limite infinie d’une suite : définition
La suite (un) admet pour limite si :
Tout intervalle ]a ; [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
La suite (un) admet pour limite si :
Tout intervalle ]; a[  contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

4/ Théorèmes de divergence

Théorèmes de divergence monotone
* Si (un) est croissante et non majorée alors lim un =
* Si (un) est décroissante et non minorée alors  lim un=
Théorèmes de comparaison
* Si pour tout n : un > vn          et lim vn =           alors : lim un =
* Si pour tout n : un < wn          et lim wn =        alors : lim un =
Remarque :
La démonstration de chacune de ces propriétés peut faire l’objet d’un R.O.C, c’est pourquoi nous y reviendrons dans la partie exercice.


5/ Limite d’une suite définie par une fonction

S’il existe une fonction f  telle que :
un = f (n) et si f admet une limite finie ou infinie en alors :

On va donc gérer la recherche de la limite de (
un) comme on gérerait la recherche de la limite de f en , mais en utilisant n comme variable.

Exemple :
soit :

Donc
(un) converge vers 0.
6 / Limite d’une suite définie par récurrence

Théorème

Soit une fonction f définie sur un intervalle I et soit (un) une suite vérifiant :
pour tout n :  I  et
un+1 = f (un) 
* Si (un) converge vers et si f est continue en  alors  vérifie : f() =                 .
Pour trouver les valeurs possibles de  , il faut donc résoudre l’équation : f

Graphiquement
(x)=x

Un point dont le couple de coordonnées est de la forme (
; f ()) est sur la courbe de f

Et comme 
f () = , le couple peut aussi être écrit ( ; ) donc ce point est également sur la droite d’équation y = x, qui est la première bissectrice.

Si (un) converge vers et si f est continue en
alors est l’ abscisse d’un des points d’intersection entre la courbe de f et la première bissectrice.

Démonstration du théorème

Cette démonstration est LA démonstration à connaître sur les suites. Elle fait régulièrement l’objet d’un R.O.C au BAC.

Si (un) converge vers
alors tout intervalle ] a ; b [ contenant contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Soit un intervalle ouvert quelconque
] a ; b [  contenant et n0 le rang à partir duquel les termes de (un) sont dans cet intervalle.

Si on nomme (
vn) la suite définie par : vn = un+1

Tous les termes de vn sont dans l’intervalle à partir du rang : n0 -1
Donc :  lim vn =         Soit : lim un+1 =

De plus : Donc, par composition de limites : 

Or : f est continue en
  
donc : 
d'où :
Et : un+1 = f (un)
Donc par unicité de la limite d’une suite :  lim un+1 = un+1 = lim f (un)
Conclusion : = f ()

7/ Limite d’une suite géométrique

* Si (
un) est géométrique de premier terme u0 et de raison q alors : un = u0 x qn
D’où : lim un = u0 x lim qn    Il est donc important de connaître les valeurs possibles de lim qn 

* Si
q > 1
Quel que soit a > 0 ( aussi grand que l’on veut ), il existe un rang n0 tel que :
pour tout n > n0 :
qn  = a
Donc tout intervalle ] a ; [ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
D: lim qn  =  et (un) diverge

* Si
q = 1, alors pour tout n : qn = 1 et (un) converge vers u0

* Si 0 <
q < 1
Comme :  est décroissante sur ] 0 ; [
Posons :    On a alors :
D’où : lim qn  = 0
Et donc (un) converge vers 0

* Si
q = 0, alors pour tout n : qn  = 0
D’où : lim qn  = 0
Et (un) converge vers 0.

* Si -1 < q < 0  Car 

Donc : lim qn  = 0
D’où (un) converge vers 0.
* Si q = -1, un = -1 ou un = +1  selon la valeur de n, donc (qn) et (un) divergent.

* Si q < -1, (qn) n’est pas bornée
donc : (qn) diverge et (un) également.
Limite d’une suite géométrique :
si
un = u0 x qn
lim un = u0 x lim qn donc :
en résuméen conséquence
si q < -1
(qn) oscille et diverge(un) oscille et diverge.
si -1 < q < 1
(qn) converge vers 0(un) converge vers 0.
si q = 1
(qn) converge vers 1(un)
converge vers u0
si q > 1lim (qn) =
(qn) diverge
selon le signe de u0
(un)  diverge

8/ Propriétés algébriques des limites


Les suites étant un cas particulier de fonctions :

Toutes les propriétés algébriques valables pour les limites de fonctions sont valables pour les limites de suites.

         Cours complémentaires :

► Généralités sur les suites
► Raisonnement par récurrence