Complexes - transformations

 
 
1/ Application, image, antécédent.

Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé  :

Soit f application définie par :

Selon la nature de f, un point peut ne pas avoir d’image comme il peut ne pas avoir d’antécédent ou bien encore en posséder plusieurs.

Exemples :

 1° Si M’ est tel que :  Alors le point O n’a pas d’image par f.
Et f est alors simplement définie dans le plan P privé de O.

2° Si M’ est tel que :  Alors tout point de P a une image par f.
Tout point de P possède également un antécédent mais celui-ci n’est pas forcément unique.
Par exemple, A(-1) possède deux antécédents :B(i) et C(-i).

Soit f application définie par : 

Si f possède les deux propriétés suivantes :

1° ) Tout point du plan P a une image. 
2° ) Tout point du plan P a un antécédent unique.

Alors f est une bijection du plan dans lui-même et est appelée transformation du plan.

Les transformations rencontrées jusqu’en classe de terminale sont les suivantes :

- les translations.
- les homothéties.
- les rotations.
- les symétries axiales, également appelées réflexions.
- les symétries centrales.

Pour chaque type de transformation, cette étude consiste à s’interesser aux éléments suivants.

- points invariants et éléments caracteristiques.
Les points invariants sont aussi appélés point fixe.

- influence sur les vecteurs, les distances, les angles, le parallélisme,l’alignement et les figures géométriques.

- écriture complexe.

- transformation réciproque.

Définition

La translation de vecteur est la transformation du plan, noté , qui à tout point M fait correspondre le point M’ tel que :  

Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé :

 
 
D’où :

Les translations conservent : 

les distances, le parallélisme, l’alignement et les angles orientés.

Par une translation :
L’image d’une droite est une droite parallèle
L’image du cercle C de centre A et de rayon r , est le cercle C’ de centre A’ et de rayon r, avec A’ = (A)

Donc : Ecriture complexe de

 

Soit f est une application du plan complexe telle que :

M(z) a pour image M’(z’) avec 

Si k est un réel non nul alors f est l’homothétie de centre  d’affixe et de rapport k.

D’où 

Les homothéties conservent :

le parallélisme, l’alignement et les angles orientés.

Les homothéties multiplient :

Les distances par , les aires par . 
Et les volumes par  dans l’espace.

Par une homothétie :

- L’image d’une droite est une droite parallèle.
- L’image du cercle C de centre A et de rayon r,
 est le cercle C ’ de centre A’ et de rayon  , avec  

  étant un angle défini à près.

La rotation de centre  et d’angle  est la transformation du plan, notée , qui à tout point M fait correspondre le point M’ tel que : 

Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé :

 

La recherche de l’écriture complexe va être ici plus compliquée que dans les cas précédents.
Elle fait d’ailleurs souvent l’objet d’un R.O.C dans les sujets du BAC.

Le nombre complexe   ayant pour module 1 et pour argument ,
il s’écrit sous forme exponentielle :

Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé :

La formule trouvée peut donc être étendue à

Ecriture complexe de  :

Remarque :
Cette formule résume à elle seule la puissance des nombres complexes, qui permettent de ramener à une simple égalité une configuration très complexe de la géométrie plane.

6/ Rotations du plan complexe : illustration graphique

Commençons par le cas particulier des rotations de centre O :

Remarques
1) Quel que soit le point , est l’identité et tout point du plan est alors invariant par r.
2) Si ≠ 0 + alors admet un seul point invariant : son centre .
3) Quel que soit le point  , est la symétrie centrale de centre .
4) Comme dans la démonstration nous avons procédé par équivalence, nous avons également démontré le résultat réciproque, à savoir :

Si f est une application du plan complexe telle que :
M(z) a pour image M’(z’) avec
alors f est la rotation de centre d’affixe t d’angle

5) Une rotation possède deux éléments caractéristiques : son centre et son angle. Elle est donc entièrement définie ou caractérisée par la donnée d’un point et d’un angle.
6) La transformation réciproque de  est : .

6/ Rotations du plan complexe : propriétés

 

    

D’où :

Les rotations conservent :
les distances, le parallélisme, l’alignement et les angles orientés.

Par une rotation :
Les rotations sont des isométries.
- L’image d’une droite est une droite qui forme avec la droite de départ un angle géométrique égal à la valeur absolue de l’angle orienté de la rotation.
- L’image du cercle C de centre A et de rayon R, est le cercle C ’ de centre A’ et de rayon R, avec .

6/ Rotations du plan complexe : configurations de référence

1) Le triangle rectangle isocèle

ABC triangle rectangle isocèle direct

 
 
 De même

ABC triangle rectangle isocèle indirect.

2) Le triangle équilatéral

ABC triangle équilatéral direct

 
 
De même

ABC triangle équilatéral indirect 

 
 
Utilisation :

Dans un sens, connaissant les affixes des points,pour montrer qu’un triangle est équilatéral ou rectangle isocèle, il suffira de montrer qu’un point est image d’un autre en utilisant l’écriture complexe de la rotation.

Dans l’autre sens, sachant que le triangle est équilatéral ou rectangle isocèle, on utilisera l’écriture complexe de la rotation pour trouver l’affixe manquante.

7/ Ecriture complexe : bilan

Soit f application définie par : 

Si f =

 Avec 
Formule très simple à retrouver et rédemontrer.

Si f =

  Avec : 
Formule qui se retrouve immediatement par passage des vecteurs aux affixes

Si f = formule plus difficile à redémontrer et à retrouver mais facile à retenir à partir de l’homothétie

8/ Réciproque : démonstration

Considérons maintenant le problème inverse : une écriture complexe nous est donnée et il faut identifier la transformation à laquelle elle correspond.

Soit f application définie par :

Dont l’écriture complexe est du type :  avec a ≠ 0.

Une méthode pour identifier une transformation d’après son écriture est de commencer par chercher ses points invariants :

Pour continuer la résolution, il faut diviser par (1-a), ce qui n’est pas possible pour 1-a=0.

D’où l’étude d’un premier cas
1°  Alors :  et f est la translation de vecteur  d’affixe b

2°  Alors  invariant par f f admet donc un unique point invariant que nous nommerons d’affixe 

On retombe alors sur les réciproques vues plus haut, à savoir :

- si a est réel, f est l’homothétie de centre et de rapport a
- si a est de module 1, il peut s’écrire sous la forme  et f est la rotation de centre et d’angle 

8/ Réciproque : bilan.

Soit f l’application définie par

Dont l’écriture complexe est du type :  avec 

Remarque :

Le cas a non réel de module différent de 1 est étudié dans le programme de spécialité
On y étudie en fait le cas général : a nombre complexe quelconque,qui correspond à l’étude des similitudes ( directes ) dont homothéties et rotations sont des cas particuliers.

Les nombres complexes réussissent donc le tour de force de réunir sous une même formule, toutes les transformations ( directes ) du plan.

Cours complémentaires : ► Complexes - forme algébrique ► Complexes - forme trigonométrique ► Complexes - forme exponentielle

► Sommaire cours maths Terminale S  A voir aussi : ► Sommaire par thèmes ► Sommaire par notions