Complexes - forme trigonométrique
Complexes - forme trigonométrique : Dans ce module, définition du module, de l’argument et de la forme trigonométrique d’un nombre complexe. Comme dans le module faisant le lien entre nombres complexes et géométrie plane, les définitions du module et de l’argument sont d’abord introduites en s’appuyant sur les vecteurs. |
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1/ Module d’un nombre complexe et norme.
Soit base orthonormée du plan complexe.
Et soit un vecteur du plan d’affixe
.
Par définition :
Le nombre réelest appélé module de
est égale à
.
Or sia pour coordonnées (x,y) d'après le théorème de pythagore
D'où pour toutélément de
,
Il est également à remarquer et à savoir que :
Donc : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument.
Si les formes trigonométriques de z et z’ sont :
alors
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Ce qui est égale à ma valeur absolue de -5.
D'où ce choix de notation pour le module.
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Ce qui est égal à valeur absolue de -3.
3/ Propriétés algébriques du module d'un nombre complexe
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Si un nombre complexe est nul son module est nul.
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Reciproquement :
Si le module d'un nombre complexe est nul alors ce nombre complexe est nul.
En effet :
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Or la somme de deux carrés est nulle si et seulement si les deux carrés sont nuls.
D'où : x = 0 et y = 0
Donc : z = 0
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Le module du produit est égal au produit des modules.
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Le mdoule du rapport est égal au rapport des modules.

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Le module du rapport est égal au rapport des modules.

La demonstration de chacune de ces propriétés pourra faire l'objet d'un R.O.C
Attention !
De même que la norme de la somme ne vaut pas la somme des normes, le module de la somme ne vaut pas la somme des modules.

4/ Module d'un réel, module d'un imaginaire pur
RemarqueD'oùAu sens de valeur absolue de x.Donc si z réel : module de z = valeur absolue de z.
Sur IR moule et valeur absolue sont deux notions qui se confondent.
z imaginaire pur
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D'où
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Ou tout simplement
Donc |z| = |y| au sens de "valeur absolue de y".
5/ Module d'un nombre complexe et distance
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Dans la pratique, c'est surtout l'égalité :qui sert, mais pour être vraiment à l'aise en géométrie complexe, il faut maîtriser la quadruple égalité du dessus.
6/ Module d'un nombre complexe et point image
Soitéléement de
et M d'affixe z.
Par définition, les coorodnnées du point M dans le repèresont les coordonnées du vecteur
dans la base
.
et M ayant les mêmes coordonnées, ils ont donc la même affixe.
D'où
Par conséquent
Conclusion
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé :.
Si z a pour image M alors |z| = OM.On peut aussi redomntrer cette formule en utlisant
Soit tout simplementen prenant A = O et B = M.
Propriété
Les points situés sur le cercle trigonométrique ont une affixe dont le module vaut 1.
7/ Argument d’un nombre complexe et vecteur
Soit P le plan complexe muni d'une base

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Par définition :
Le nombre réel noréet appelé argument de
est égal à l'angle orienté
.
Remarque:
1) Tout angle étant défini à
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Autrement dit : Pour tout
2) On ne peut former un angle orienté avec le vecteur nul, c'est pour cette raison que ce vecteur est exlu de la définition.
8/ Argument d'un nombre complexe et point d'image
Soit P le plan complexe muni d'un repère orthonormé
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Soitnon nul élément de
et M d'affixe z.
Par conséquent :
Conclusion
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé
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Sia pour image M alors :
Soit tout simplement pour
9/ Exemples d’arguments
Soit P le plan complexe muni d'un repère orthonormé
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10/ Caractérisation des réels et des imaginaires purs à l’aide de l’argument
Soit P le plan complexe muni d'un repère orthonormé :
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z imaginaire pur à partie imaginaire > 0z imaginaire pur à partie imaginaire < 0

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11/ Coordonnées cartésiennes, coordonnées polaires
Soit P le plan complexe muni d'un repère orthonormé
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Soit M un point du plan different de O.
Il existe deux façons de rpérer la position de M dans ce repère :
- Par ses coordonnées, cartésiennes : (x , y).
- Et par ses coordonnées polaires.
Avec
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Conclusion
Le couple ( |z| , argz) représente les coordonnées polaires de M(z).
Grâce aux nombres complexes on va donc pouvoir travailler à la fois en coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes.
En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle colorié, on obtient :
12/ Forme trigonométrique : existence
Donc pour tout z non nul, tel que :On a :
Soit :
Que l'on préférera écrire pour des questions de lisibilité :
Conclusion
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé :
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Tout nombre complexe non nul peut s'écrire peut s'écrire :
Où :
En effet, pour que cette écriture puisse représenter tous les complexes non nuls il faut quebalaye un intervalle semi-ouvert de longueur
.
On choisit l'intervalle
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Cette écriture est appelée forme trigonométrique du complexe.
Par exemple :
n'est pas écris sous forme trigonométrique car : -5<0 ne peut être le module de z.
Remarque :
Nous verrons dans la partie exercice comment trouver la bonne écriture trigonométrique de ce nombre.
13/ Forme trigonométrique : unicité
Plus généralement, soit l'écriture trigonométrique de z obtenue à l'aide de son module et de son argument :
Et soit une autre écriture de z du type :.
Remarque et propriété :
Pour tout réelDonc :D'où :Pour que :soit l'écriture trigonométrique de z, il faut donc pour commencer :
Or si :alors
D'où :
Conclusion
L'écriture trigonométrique d'un nombre complexe est unique.
Raison pour laquelle 0 ne peut avoir d'écriture trigonométrique car en prenant r = 0, une infinité de vaaleur en prenant
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d'un point de vue pratique :est l'écriture trigonométrique de z
si et seulement si
Auquel cas :

13/ Forme trigonométrique : égalité
Deux points du plan complexe sont confondus
si et seulement si
ils ont les mêmes coordonnées polaires.
Donc : deux nombres complexes sont égaux
si et seulement si
ils ont même module et même argument.
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ce qui se traduit du point de vue de la forme trigonométrique par :
Si les formes trigonométrique de z et z' sont :14/ Passage de la forme algèbrique à la forme trigonométriqueAlors :
Exemple :
SoitL'objectif est de l'écrire sous la forme trigonométrique :
Il faut commencer par calculer le module de z.
Maintenant, on met le module en acteur dans z.
C'est alors qu'il faut être capable de reconnaitre l'angle à partir de son cosinus et de son sinus. Il faut donc bien maîtriser les angles de référence.

Remarque concernant le tracé de M(z) :
Soit
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Sous cette forme algébrique, il est difficile de tracer M d’affixe z avec précision.
Mais grâce à la forme trigonométrique :cela devient possible.
En effet, le module vaut 4 donc M est sur le cercle de centre O et de rayon 4.
Pour trouver ensuite sa position sur le cercle, on peut le faire de trois façons :
- Soit à l’aide de l’ordonnée de M.
Les coordonnées de M étant positives,Il ne peut être que dans ce quart de plan.
Donc on ne trace qu’un quart de cercle.
- Soit en traçantà l’aide d’un triangle équilatéral.
- Soit en traçantà l’aide du cercle trigo.
15 / Propriétés algébriques de l’argument d’un nombre complexe
Remarque
Les propriétés à venir ne concernent que des nombres complexes non nuls et les égalités sont vraies à .
Du critère d'égalité de deux nombres complexes sous forme trigonométrique, du module du produit égal au produit des modules et des formules d'addition des sinus et cosinus découle la propriété suivante : Quels que soient z et z’ éléments de
:
L'argument du produit est égal à la somme des arguments. Première conséquence, pour tout entier naturel n et z non nul :
Autre conséquence : pour tout z élément de
:
et enfin, conséquence de et
:
Pour tous z et z’ éléments de
:
L'argument du rapport est égal à la différence des arguments.
La démonstration de chacune de ces propriétés pourra faire l’objet d’un R.O.C.
16 / Configuration de reference
M'' étant le symétrique de M par rapport à O, on a donc d'après les propriétés de la symétrique centrale :

17 / Bilan
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé : et orienté dans le sens trigonométrique, tout problème de géométrie plane peut donc se ramener à un " simple " calcul sur les complexes.

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