Complexes - forme exponentielle

Cours maths Terminale S

Complexes - forme exponentielle :
Dans ce module, définition, manipulation et étude de l’écriture d’un nombre complexe sous forme exponentielle.
Dans un premier temps le cours est consacré à l’étude des nombres complexes de module 1.
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1/ Nombre complexe de module 1

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé :           
Tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous forme trigonométrique : 


Réciproquement : 

Or : 1>0  donc par unicité de l’écriture trigonométrique : 

D’où l’équivalence :



 1/ Nombre complexe de module 1


Résultat évident d’un point de vue géométrique car :


Nombre complexe de module 1


Nombre complexe de module 1  Nombre complexe de module 1
Nombre complexe de module 1


A chaque point du cercle correspond une valeur de 
.
balaye donc un intervalle semi-ouvert de longueur 2.

Si l’intervalle sur lequel est pris  est d’une longueur inférieure à 2
alors M ne décrit qu’un arc de cercle.

 2/ Notation exponentielle

Pour des raisons d'analogie avec la fonction exponenetielle, que nous verrons plus loin, on décide de noter : 
Se lit " exponentielle de i " ou encore plus simplement : " é - i - téta " .

D’où une équivalence globale :

notation exponentielle
Il faut savoir lire et utiliser ces multiples équivalences dans tous les sens et avoir compris en particulier que :
 est le nombre complexe de module 1 et d’argument .

ou encore que :
Tout nombre complexe de module 1 peut s’écrire étant son argument. 





3/ Quelques valeurs de référence

   est le nombre complexe de module 1 et d'argument

Donc, en particulier :  est le nombre complexe de module 1 et d’argument 0.

D'où : complexe - forme exponentielleD'où  = 1  complexe - forme exponentielle


Par un même raisonnement graphique, on obtient :
complexe - forme exponentielle complexe - forme exponentielle

 

complexe - forme exponentielle complexe - forme exponentielle

complexe - forme exponentielle complexe - forme exponentielle
mais on notera plutôt avec le signe "-" devant

 

D'où 

Resultat que l'on peut aussi retrouver par le calcul :





4/ Notation exponentielle du conjugué et de l'opposé


Nous pouvons nous aider de la configuration

notation exponentielle  notation exponentielle  notation exponentielle  notation exponentielle  notation exponentielle  
notation exponentielle



5/ Propriétés algébriques de la notation exponentielle



Produit de deux exponentielles




   est le nombre complexe de module 1 et d'argument  donc :
Cette égalité ainsi que celle-ci : = 1   
sont les deux « équations fonctionnelles » que doit vérifier une fonction pour être une fonction exponentielle.

La notation   se justifie donc.

Remarque : 
On peut retrouver le resultat démontré géometriquement sur 




Puissance d'une exponentielle :
 



  est le nombre complexe de module 1 et d'argument  donc : 

On peut également le déduire comme première conséquence du resultat ci-dessus en utilisant une demonstration par recurrrence.


Deuxième conséquence de la propriété sur le produit :


Inverse d'une exponentielle : 

  donc : 

On peut également le démontrer en utilisant module et argument comme vu plus haut.

Remarque :
1) On peut retrouver le résultat démontré géométriquement 
    donc  
2) On peut diviser par  car son module vaut 1 il ne peut être nul.

Conséquence des propriétés sur le produit et l'inverse :

Quotient de deux exponentielles : 


quotient de deux exponentielles

La propriété N°2 peut aussi être écrite ainsi :
 sous cette forme, elle est appellée Formule de Moivre 

En résumé, la notation exponentielle a les mêmes propriétés que la notation puissance.

Ces propriétés sont donc très simples à retenir et leur manipulation est très intuitive.
Leur démonstration pourra faire l’objet d’un R.O.C.



6/ Forme exponentielle : existence

Rappel sur la forme trigonométrique :

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé :  et orienté dans le sens trigonométrique.

Tout nombre complexe non nul peut s’écrire : 



   cette écriture est appelée : forme exponentielle du nombre complexe.


Cependant, attention toute écriture qui à l’air exponentielle n’en est pas forcément une !

Par exemple :

    n'est pas écrit sous forme exponentielle car -5<0 ne peut être le module de z.

Remarque : 
Nous verrons dans la partie exercice comment trouver la bonne écriture exponentielle de ce nombre

7/ Forme exponentielle : unicité


Rappel :
L'écriture trigonométrique d'un nombre complexe non nul est unique.

Et d'un point de vue pratique :
 est l'écriture trigonométrique de z si et seulement si 

auquel cas 

Donc :
L'écriture exponentielle d'un nombre complexe est unique.
et d'un point de vue pratique :
  est l'écriture exponenetielle de z si et seulement si

auquel cas  

Une stratégie pour mettre un nombre sous forme exponentielle pourra donc parfois consister à calculer le module, à le mettre en facteur,puis à réussir à mettre le facteur restant sous la forme :
7/ Forme exponentielle : égalité

Rappel :

Si les formes trigonométriques de z et z' sont :

alors

donc : si les formes exponentielles de z et z' sont : 
alors :

En particulier pour r = r' = 1.



7/ Forme exponentielle : résumé



Nous pouvons donc étendre notre équivalence de départ à tout nombre complexe non nul.

forme exponentielle


forme exponentielle


Remarque
Pour passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ou inversement,il faut passer par la forme intermédiaire qu’est la forme trigonométrique.



7/ Forme exponentielle :conjugué et opposé


forme exponentielle


forme exponentielle


7/ Forme exponentielle : calculs

Du fait de ses propriétés semblables à celles d’une puissance,la notation exponentielle est idéale pour pratiquer des calculs sur les complexes.
En particulier quand ces calculs sont des produits, des puissances ou des quotients.


Exemples :
1° Montrer que   est un réel.
On aurait également pû faire ce calcul à l'aie de deux carrés ou de la formule du binôme de Newton.
Tout d'abord, mettons 3 + 3i sous forme exponentielle.



2° Montrer que    est imaginaire pur.

On pourrait tout à fait mener ce calcul de façon algébrique mais nous allons choisir la stratégie exponentielle.





forme exponentielle
Toute cette étape pouvant être faite de tête ou au brouillon








forme exponentielle



8/ Formules d’Euler


formule d'euler

    formule d'euler

formule d'euler


Remarque
Comme      
On peut par exemple redémontrer ce résultat de la sorte :




9/ Equation paramétrique d’un cercle : démonstration

Soit C le cercle de centre  et de rayon R .

Or    admet une écriture exponentielle qui est : 


De plus quand M parcourt C ,  décrit l’intervalle 


Illustration


Ce résultat est très simple à retrouver et à expliquer graphiquement : 

En effet, tout cercle de rayon R est le translaté d'un cercle de centre O et de même rayon.


                               


En résumé :



                      
 qui représente l’angle  est le paramètre :

à chaque valeur de prise dans un intervalle de longueur  correspond un unique point du cercle, et inversement.



         Cours complémentaires :

► Complexes - forme algébrique
► Complexes - forme trigonométrique
► Complexes - équations
► Complexes - transformations

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