Complexes - forme exponentielle

 
 
1/ Nombre complexe de module 1

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé :  
Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous forme trigonométrique : 

Réciproquement : 

Or : 1>0 donc par unicité de l’écriture trigonométrique : 

D’où l’équivalence :

 2/ Notation exponentielle

Pour des raisons d’analogie avec la fonction exponenetielle, que nous verrons plus loin, on décide de noter : 
Se lit " exponentielle de i " ou encore plus simplement : " é - i - téta " .

D’où une équivalence globale :

Il faut savoir lire et utiliser ces multiples équivalences dans tous les sens et avoir compris en particulier que :

 est le nombre complexe de module 1 et d’argument .

ou encore que :

Tout nombre complexe de module 1 peut s’écrire ,  étant son argument. 

3/ Quelques valeurs de référence

 est le nombre complexe de module 1 et d’argument

Donc, en particulier :  est le nombre complexe de module 1 et d’argument 0.

D’où : D’où  = 1 

Par un même raisonnement graphique, on obtient :

mais on notera plutôt avec le signe "-" devant

D’où 

Resultat que l’on peut aussi retrouver par le calcul :

     

5/ Propriétés algébriques de la notation exponentielle

Produit de deux exponentielles  : 

 est le nombre complexe de module 1 et d’argument  donc :
Cette égalité ainsi que celle-ci : = 1 
sont les deux « équations fonctionnelles » que doit vérifier une fonction pour être une fonction exponentielle.

La notation  se justifie donc.

Remarque : 
On peut retrouver le resultat démontré géometriquement sur 

Puissance d’une exponentielle : 

 est le nombre complexe de module 1 et d’argument  donc : 

On peut également le déduire comme première conséquence du resultat ci-dessus en utilisant une demonstration par recurrrence.

Inverse d’une exponentielle : 

  donc : 

On peut également le démontrer en utilisant module et argument comme vu plus haut.

Remarque :
1) On peut retrouver le résultat démontré géométriquement 
 donc 
2) On peut diviser par  car son module vaut 1 il ne peut être nul.

Quotient de deux exponentielles : 

La propriété N°2 peut aussi être écrite ainsi :
 sous cette forme, elle est appellée Formule de Moivre 

En résumé, la notation exponentielle a les mêmes propriétés que la notation puissance.

Ces propriétés sont donc très simples à retenir et leur manipulation est très intuitive.
Leur démonstration pourra faire l’objet d’un R.O.C.

6/ Forme exponentielle : existence

Rappel sur la forme trigonométrique :

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé :  et orienté dans le sens trigonométrique.

Tout nombre complexe non nul peut s’écrire : 

 cette écriture est appelée : forme exponentielle du nombre complexe.

Cependant, attention toute écriture qui à l’air exponentielle n’en est pas forcément une !

Par exemple :

 n’est pas écrit sous forme exponentielle car -5<0 ne peut être le module de z.

Remarque : 
Nous verrons dans la partie exercice comment trouver la bonne écriture exponentielle de ce nombre

7/ Forme exponentielle : unicité

Et d’un point de vue pratique :

 est l’écriture trigonométrique de z si et seulement si 

auquel cas 

Donc :
L’écriture exponentielle d’un nombre complexe est unique.

et d’un point de vue pratique :

 est l’écriture exponenetielle de z si et seulement si

auquel cas  

Une stratégie pour mettre un nombre sous forme exponentielle pourra donc parfois consister à calculer le module, à le mettre en facteur,puis à réussir à mettre le facteur restant sous la forme :

Rappel :

Si les formes trigonométriques de z et z’ sont :

alors  : 

donc : si les formes exponentielles de z et z’ sont : 

alors  :

En particulier pour r = r’ = 1.

Remarque
Pour passer de la forme algébrique à la forme exponentielle ou inversement,il faut passer par la forme intermédiaire qu’est la forme trigonométrique.

7/ Forme exponentielle :conjugué et opposé

Exemples :

1° Montrer que  est un réel.
On aurait également pû faire ce calcul à l’aie de deux carrés ou de la formule du binôme de Newton.

Tout d’abord, mettons 3 + 3i sous forme exponentielle.

2° Montrer que  est imaginaire pur.

Toute cette étape pouvant être faite de tête ou au brouillon

 

9/ Equation paramétrique d’un cercle : démonstration

Soit C le cercle de centre  et de rayon R .

Or  admet une écriture exponentielle qui est : 

De plus quand M parcourt C ,  décrit l’intervalle 

En résumé :

 
 qui représente l’angle  est le paramètre  :

à chaque valeur de prise dans un intervalle de longueur  correspond un unique point du cercle, et inversement.