Complexes - équations

Cours maths Terminale S

Complexes - équations :
Dans ce module, étude de la résolution d’équations dans l’ensemble des complexes et de la représentation des nombres complexes dans le plan.
► Sommaire cours maths Terminale S

      A voir aussi :


► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions
► menu 600 VIDEOS       

 
 
 1/ Equations du premier degré dans

On résout les équations du premier degré dans de même que dans

Exemple

Résoudre l'équation 

L’objectif étant de trouver la solution et de la mettre sous forme algébrique.

La stratégie ici, consiste à manipuler l’équation afin d’avoir z dans un seul membre et de pouvoir le mettre en facteur.

En enlevant 5z puis 3 aux deux membres de l’égalité, on obtient :

 


Attention !

Avant d'utiliser son conjugué, il faut mettre ce nombre (2i - 5) sous forme algébrique.


La solution de l'équation est donc 


 2/ Equations utilisant la forme algébrique

Pour résoudre certaines équations dans , il est parfois nécessaire de mettre l'inconnue sous forme algébrique, pour pouvoir utiliser l'une des propriétés suivantes :

forme algébrique

Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.

Ou sa conséquence :

conséquence de complexe

Deux nombres complexes sont égaux
si et seulement si

ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.


Exemple
Résoudre l'équation 



posons 

Alors, z solution de 
                                          
Il faut maintenant mettre ce membre sous forme algébrique. 




La solution de l’équation est donc: 


4/ Equations du second degré dans


Rappel dans R sur un exemple

Soit l'équation   calcul du discriminant 
donc  possède deux racines opposées réelles 

par conséquent, l'équation admet : deux solutions réelles
 


Transposition à
Soit l'équation  calcul du discriminant 
donc  possède deux racines opposées imaginaires pures :  par conséquent, l'équation admet : deux solutions complexes


Il est à noter que ces deux racines complexes sont conjuguées.


Cas général et bilan

Soit l'équation  avec a, b et c élément de IR. 

 possède toujours dans  deux racines opposées :  et l'équation a pour solution(s) : 

 
équations de second dégré en C

Qui ne peuvent pas être égale car on aurait alors  d'où ce qui est impossible avec .

5/ Représentation d’un nombre complexe par un vecteur du plan

A partir de tout nombre complexe

Il est possible de construire un vecteur   du plan de coordonnées  pour cela, il faut tout d'abord doter le lan d'une base, qui ne sera pas noée  mais pour éviter toute confusion avec i .

Pour pouvoir plus tard utiliser le théorème de Pythagore, on prend une base orthonormée.

Exemple

   représente le nombre complexe : 2 - 3i


2 - 3i est appelé affixe du vecteur   ce qui se note :















6/ Propriétés de l’affixe d’un vecteur


A tout nombre complexe correspond un inque vecteur du plan dans une base donnée.

Ce qui d'un point de vue pratique s'utilise de la sorte :



Si deux vecteurs sont égaux alors ils ont même affixe.



Reciproquement :
Si deux vecteurs ont même affixe alors ils sont égaux.

propriété de l'affixe d'un vecteur

Voici maintenant, quelques propriétés sur les affixes de vecteurs qui découlent de façon évidente des propriétés connues sur les coordonnées de vecteurs. 

affixe d'un vecteur

L'affixe du vecteur nul est nulle.

affixe d'un vecteur

L'affixe du vecteur opposé est l'opposée de l'affixe du vecteur.


affixe d'un vecteur

L'affixe de la somme de deux vecteurs est égale à la somme des affixes de ces deux vecteurs.

En conséquence des propriétés 3 et 4 :



L'affixee de la difference de deux vecteurs est égal à la difference des affixes des deux vecteurs.  

affixe d'un vecteur

Cette propriété est très utilse pour montrer que deux vecteurs son colinéaires.


Attention !
Cette propriété est fausse si k est un nombre complexe non nul.

7/ Représentation d’un nombre complexe par un point du plan


Munissons maintenant notre plan d'un repère orthonormé :
 - une origine.
 - une base orthonormée.
A partir de tout nombre complexe : on peut alors construire un point M du plan de coordonnées (x ; y)
nombre complexe par un point du plan
A(4;2) représente le nombre complexe : 4 + 2i .

4 + 2i est appelé affixe du point A.

A est appélé image de 4 + 2i .

nombre complexe par un point du plan


 8/ Plan complexe, cas particuliers

A tout nombre complexe, correspond un unique point du plan dans un repère donné.
On a donc l'application suivante : 
plan complexe


Ce plan où chaque point represente un nombre complexe est appelé : Plan complexe
Cas particuliers :
     
plan complexe
On a donc l'application suivante :
plan complexe

Plus généralement les points images de nombres réels ont une ordonnée nulle et sont donc situés sur l'axe des abscisses.

C'est pourquoi cet axe est appelé axe des réels.

un autre cas particulier :
plan complexe

On a donc l'application suivante : 
 plan complexe

Plus généralement : les points images de nombres réels ont une ordonnée nulle et sont donc situés sur l'axe des ordonnéeq

C'est pourquoi cet axe est appelé axe des imaginaires purs
Et conséquence :
0 étant réel et imaginaire pur,son image est sur les deux axes,c’est l’origine du repère.



A tout nombre complexe, correspond un unique point du plan dans un repère donné.
                 plan complexe


plan complexe



 9/ Propriétés de l’affixe d’un point


A tout complexe, correspond un unique point du plan dans un repère donné.

Ce qui d'un point de vue pratique s'utilise de la sorte : 

affixe d'un point

Si deux points sont confondus alors ils ont même affixe.


affixe d'un point
Reciproquement :
Si deux points ont même affixe alors ils sont confondus.
Ce qui d'un point de vue pratique s'utilise de la sorte : 

affixe d'un point

Maintenant quelques propriétés sur les affixes de points qui découlent de façon évidente des propriétés connues sur les coordonnées de points.

affixe d'un point

Formule que les élèves n'arrivent pas à assimiler alorsqu'elle est très simple à retenir en français :
l'affixe du barycentre est la moyenne pondérée des affixes.



affixe d'un point

affixe d'un point


Attention !
Ne pas oublier qu'une équivalence peut s'utiliser dans les deux sens !

7/ Image du conjugué



image du conjugué






8/ Lien entre affixe d’un point et affixe d’un vecteur

Par définition, les coordonnées du point M dans le repère sont les coordonnées du vecteur   dans la base .
 et M ayant les même coordonnées ils ont donc la même affixe.
Lien entre affixe d’un point et affixe d’un vecteur
Dans le plan complexe de repère

Lien entre affixe d’un point et affixe d’un vecteur



Conséquence :


En effet 

Lien entre affixe d’un point et affixe d’un vecteur


Remarque 
Cette formule peut evidemment  aussi se demontrer en utilisant la formule des coordonnées du vecteurs.

Pour retenir cette formule :   

complexe : Lien entre affixe d’un point et affixe d’un vecteur













         Cours complémentaires :

► Complexes - forme algébrique
► Complexes - forme trigonométrique
Complexes - forme exponentielle
► Complexes - transformations

► Sommaire cours maths Terminale S

           A voir aussi :

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions

 

  • Une offre 100% satisfait

    Vous résiliez quand vous voulez et sans pénalités jusqu'au 4ème cours inclus

  • Une solution économique

    -50% sur tous nos cours, vous n'avancez plus l'avoir fiscal! Aucun impact sur votre niche fiscale

  • Des cours à partir de 14.90€

    Educastream vous propose toutes les formules pour tous les budgets

  • Parrainez vos proches

    Bon d'achat de 80 euros offert si vous parrainez vos proches

  • Webcam et casque offerts